在数学旅程QQ群看到的一题

顾*(1036******) 14:35:36
f(x)=int(cos(1/t),t=0..x);求f'(0)

题目：设 $f(x)=\int_0^x{\cos\frac1t\rmd t}$，求 $f'(0)$。

我们先看 $x>0$ 时，令 $t=1/u$，则
\begin{align*}
\int_0^x\cos\frac1t\rmd t&=\int_{+\infty }^{1/x}\cos u\rmd{\frac1u} \\
&=-\int_{1/x}^{+\infty }\cos u\rmd{\frac1u} \\
& =\int_{1/x}^{+\infty }\frac{\cos u}{u^2}\rmd u \\
& =\int_{1/x}^{+\infty }\frac{\rmd{\sin u}}{u^2} \\
& = \left. \frac{\sin u}{u^2} \right|_{1/x}^{+\infty } - \int_{1/x}^{+\infty }\sin u\rmd{\frac1{u^2}}\\
& =2\int_{1/x}^{+\infty }\frac{\sin u}{u^3}\rmd u - x^2\sin \frac1x,
\end{align*}
当 $x<0$ 时，利用上述结果，有
\begin{align*}
\int_0^x\cos \frac1t\rmd t &=-\int_0^{-x}\cos \frac1t\rmd t\\
&=-2\int_{1/(-x)}^{+\infty }\frac{\sin u}{u^3}\rmd u+(-x)^2\sin \frac1{-x}\\
&=-2\int_{1/(-x)}^{+\infty }\frac{\sin u}{u^3}\rmd u-x^2\sin \frac1x,
\end{align*}
于是综合两种情况，当 $x\ne0$ 时我们有
\begin{align*}
\int_0^x\cos \frac1t\rmd t&=\frac{x}{\abs{x}}\cdot 2\int_{1/\abs{x}}^{+\infty }\frac{\sin u}{u^3}\rmd u-x^2\sin \frac1x\\
&=x\left(\frac2{\abs{x}}\int_{1/\abs{x}}^{+\infty }\frac{\sin u}{u^3}\rmd u-x\sin \frac1x \right),
\end{align*}
因此
\begin{equation}
\frac{\int_0^x\cos \frac1t\rmd t}{x}=\frac2{\abs{x}}\int_{1/\abs{x}}^{+\infty }\frac{\sin u}{u^3}\rmd u-x\sin \frac1x,
\end{equation}
由此可得
\begin{align*}
\left| \frac{\int_0^x\cos \frac1t\rmd t}{x} \right|&=\left|\frac2{\abs{x}}\int_{1/\abs{x}}^{+\infty }\frac{\sin u}{u^3}\rmd u-x\sin \frac1x \right| \\
& \leqslant \frac2{\abs{x}}\left| \int_{1/\abs{x}}^{+\infty }\frac{\sin u}{u^3}\rmd u \right|+\left| x\sin \frac1x \right| \\
& \leqslant \frac2{\abs{x}}\int_{1/\abs{x}}^{+\infty }\frac{\abs{\sin u}}{u^3}\rmd u+\left| x\sin \frac1x \right| \\
& \leqslant \frac2{\abs{x}}\int_{1/\abs{x}}^{+\infty }\frac1{u^3}\rmd u+\left| x\sin \frac1x \right| \\
& =\frac2{\abs{x}}\cdot \left. \left( -\frac1{2u^2} \right) \right|_{1/\abs{x}}^{+\infty }+\left| x\sin \frac1x \right| \\
& =\frac2{\abs{x}}\cdot \frac{x^2}2+\left| x\sin \frac1x \right| \\
& =\abs{x}+\left| x\sin \frac1x \right|,
\end{align*}
即
\begin{equation}
0<\left| \frac{\int_0^x\cos \frac1t\rmd t}{x} \right|\leqslant \abs{x}+\left| x\sin \frac1x \right|,
\end{equation}
注意到
\[
\lim_{x\to0}\left( \abs{x}+\left| x\sin \frac1x \right| \right)=0,
\]
于是由夹逼定理得
\[\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\cos \frac1t\rmd t}{x}=0,\]
从而
\[f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\cos \frac1t\rmd t}{x}=0.\]

咦？我明明回了一个贴怎么没了…………

重新回一次
提问的后来发了下面这个anser

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2012-1-12 22:21

没讨论x>0与<0，不需要吗？
有没有问题？求牛银鉴一鉴ding