在人人上看到的一积分题

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有连续导数，且 $f(0)=0$。证明：存在 $\xi\in[0,1]$ 使
\[\int_0^1f(x)\text{d}x=\frac12f'(\xi).\]

这里干脆将把上限变一下，一般地，对于正常数 $k$，构造
\[
g(t)=\int_0^t{f(x)\text{d}x}-\frac1{k^2}\int_0^k{f(x)\text{d}x}\int_0^t{2x\text{d}x},
\]
则
\[g'(t)=f(t)-\frac1{k^2}\int_0^k{f(x)\text{d}x}\cdot2t.\]
显然 $g(0)=0$，且
\[
g(k)=\int_0^k{f(x)\text{d}x}-\frac1{k^2}\int_0^k{f(x)\text{d}x}\int_0^k{2x\text{d}x}=0,
\]
即 $g(0)=g(k)=0$，故存在 $\xi_1\in(0,k)$ 使 $g'(\xi_1)=0$，即
\[f(\xi_1)-\frac1{k^2}\int_0^k{f(x)\text{d}x}\cdot2\xi_1 =0,\]
由此结合 $f(0)=0$，得到
\[
\int_0^k{f(x)\text{d}x}=\frac{k^2}2\cdot\frac{f(\xi_1)-f(0)}{\xi_1-0},
\]
从而存在 $\xi\in(0,\xi_1)\subsetneqq (0,k)$ 使
\[\int_0^k{f(x)\text{d}x}=\frac{k^2}2f'(\xi).\]
当 $k=1$ 时为上题。

这个用泰勒也可以吧