积分$\int(1+x^2)/(1+x^4)\rmd x$之类的

\begin{align*}
\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}}&=\frac{1+x^{2}}{(1+x^{2})^{2}-2x^{2}} \\
& =\frac{1+x^{2}}{\bigl(1+x^{2}+\sqrt{2}x\bigr)\bigl(1+x^{2}-\sqrt{2}x\bigr)} \\
& =\frac{1+x^{2}+\sqrt{2}x+1+x^{2}-\sqrt{2}x}{2\bigl(1+x^{2}+\sqrt{2}x\bigr)\bigl(1+x^{2}-\sqrt{2}x\bigr)} \\
& =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1+x^{2}+\sqrt{2}x}+\frac{1}{1+x^{2}-\sqrt{2}x} \right) \\
& =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{\frac{1}{2}+\left( x+\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}}+\frac{1}{\frac{1}{2}+\left( x-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}} \right)
\end{align*}
故
\begin{align*}
\int{\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}}\text{d}x}&=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\frac{1}{2}+\left( x+\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}}\text{d}x}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\frac{1}{2}+\left( x-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}}\text{d}x} \\
& =\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}+\left( x+\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}}\text{d}\left( x+\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}+\left( x-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}}\text{d}\left( x-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)} \\
& =\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \bigl(\sqrt{2}x+1\bigr)+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \bigl(\sqrt{2}x-1\bigr)+C
\end{align*}

上下同除$x^2$后凑微分也可以

三角换元可不可以

好像不行

4# $TeX$


你ID怎么不加个 \ 在前面

5# $\LaTeX$

忘了。。

今晚tutu又问了一道类似，求
\[\int\frac{\sqrt x}{1+x^2}\text dx.\]

令$t=\sqrt x$，则
\[\int\frac{\sqrt x}{1+x^2}\text dx = \int\frac{t}{1+t^4}\text dt^2=2\int\frac{t^2}{1+t^4}\text dt\]
于是只要求
\[\int\frac{t^2}{1+t^4}\text dt\]
为方便复制上面，这里暂时将t写回x
\[\int\frac{x^2}{1+x^4}\text dx\]
这就跟上面的只差了一个$1$，故仍仿上，有
\begin{align*}
\frac{x^2}{1+x^{4}}&=\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{2}-2x^{2}} \\  
& =\frac{x^{2}}{\bigl(1+x^{2}+\sqrt{2}x\bigr)\bigl(1+x^{2}-\sqrt{2}x\bigr)} \\  
& =\frac{x\bigl(1+x^{2}+\sqrt{2}x\bigr)-x\bigl(1+x^{2}-\sqrt{2}x\bigr)}{2\sqrt2\bigl(1+x^{2}+\sqrt{2}x\bigr)\bigl(1+x^{2}-\sqrt{2}x\bigr)} \\  
& =\frac{1}{2\sqrt2}\left( \frac{x}{1+x^{2}-\sqrt{2}x}-\frac{x}{1+x^{2}+\sqrt{2}x} \right) ,
\end{align*}
而$(Mx+N)/(x^2+px+q)$的积分是有公式的，只是我不记得，好像挺长，结果估计比较那个……

晚上看群里提到 $\int\frac1{x^8+1}\rmd x$，想用类似方法玩玩看，结果超级麻烦……

暂且不考虑定义域什么的问题了，直接令 $x=1/t$，则
\[\int\frac1{x^8+1}\rmd x=\int\frac{t^8}{t^8+1}\rmd{\frac1t}=-\int\frac{t^6}{t^8+1}\rmd t,\]
而
\begin{align*}
\frac{t^6}{t^8+1}={}&\frac{t^6}{(t^4+1)^2-2t^4} \\
={}&\frac{t^6}{(t^4+1+\sqrt2t^2)(t^4+1-\sqrt2t^2)} \\
={}&\frac1{2\sqrt2}\left( \frac{t^4}{t^4+1-\sqrt2t^2}-\frac{t^4}{t^4+1+\sqrt2t^2} \right) \\
={}&\frac1{2\sqrt2}\left( \frac{t^4}{(t^2+1)^2-(2+\sqrt2)t^2}-\frac{t^4}{(t^2+1)^2-(2-\sqrt2)t^2} \right) \\
={}&\frac1{2\sqrt2}\Biggl( \frac{t^4}{(t^2+1+\sqrt{2+\sqrt2}t)(t^2+1-\sqrt{2+\sqrt2}t)}\\
&-\frac{t^4}{(t^2+1+\sqrt{2-\sqrt2}t)(t^2+1-\sqrt{2-\sqrt2}t)} \Biggr) \\
={}&\frac1{4\sqrt2\sqrt{2+\sqrt2}}\left( \frac{t^3}{t^2+1-\sqrt{2+\sqrt2}t}-\frac{t^3}{t^2+1+\sqrt{2+\sqrt2}t} \right) \\
& -\frac1{4\sqrt2\sqrt{2-\sqrt2}}\left( \frac{t^3}{t^2+1-\sqrt{2-\sqrt2}t}-\frac{t^3}{t^2+1+\sqrt{2-\sqrt2}t} \right),
\end{align*}
再利用
\[\frac{t^3}{t^2+1+pt}=\frac{(p^2-1) t+p}{t^2+1+pt}+t-p,\]
便得到
\begin{align*}
\frac{t^6}{t^8+1}={}&\frac1{4\sqrt2\sqrt{2+\sqrt2}}\left( \frac{(1+\sqrt2)t-\sqrt{2+\sqrt2}}{t^2+1-\sqrt{2+\sqrt2}t}-\frac{(1+\sqrt2)t+\sqrt{2+\sqrt2}}{t^2+1+\sqrt{2+\sqrt2}t}+2\sqrt{2+\sqrt2} \right) \\
& -\frac1{4\sqrt2\sqrt{2-\sqrt2}}\left( \frac{(1-\sqrt2)t-\sqrt{2-\sqrt2}}{t^2+1-\sqrt{2-\sqrt2}t}-\frac{(1-\sqrt2)t+\sqrt{2-\sqrt2}}{t^2+1+\sqrt{2-\sqrt2}t}+2\sqrt{2-\sqrt2} \right),
\end{align*}
然后就可以代公式了，最终结果……算了吧……闪人

8# kuing


  反正算起来好麻烦。。不过理论上是可行的

9# q85669551

怎么了……

话说将那些根号写成三角函数可能看上去简洁一些……$\sqrt{2+\sqrt2}=2\cos(\pi/8)$，$\sqrt{2-\sqrt2}=2\sin(\pi/8)$

似乎我回过这个积分，是一个典型的凑微分的：
\[
\int{\frac{1+x^2}{1+x^4}}=\int{\frac{d(x-\frac{1}{x})}{(x-\frac{1}{x})^2+2}} \
= \int{\frac{dz}{z^2+2}}
\]

10# kuing


难算啊。。改成2^n的情形 似乎会出现什么sin((n-1)pi/2^n)之类的数字...

还2^n......有木有递推神马的？

13# kuing


估计会有表达式... 可以用软件算了 发现规律

关键就是因式分解为常见可积基本函数。过程挺复杂啊

开始自学数学分析?

16# realnumber

偶尔路过玩玩