[函数] 来自群的二次函数与指数函数最多有3个交点

教师-wwd*************  11:40:46
二次函数与指数函数最多有3个交点？
怎么证明的？


证明　假设 $f(x)=ax^2+bx+c\,(a,b,c\in\mathbf R)$ 与 $g(x)=d^x\,(d>0,d\ne1)$ 存在四个不同的共公点，那么
\[h(x)=f(x)-g(x)=ax^2+bx+c-d^x\]
存在四个不等零点，由 $h(x)$ 的连续性以及罗尔定理知
\[h'(x)=2ax+b-d^x\ln d\]
存在三个不等零点，由 $h'(x)$ 的连续性以及罗尔定理知
\[h''(x)=2a-d^x\ln^2d\]
存在两个不等零点，由 $h''(x)$ 的连续性以及罗尔定理知
\[h'''(x)=-d^x\ln^3d\]
存在零点，这显然不可能。

同理可证 n 次函数与指数函数最多有 n+1 个交点

与对数函数应该也一样