[不等式] 请教如何用基本不等式证明另一个不等式？

本帖最后由我为中华添光彩于 2011-12-25 11:37 编辑

如何用a＋b≥2$\sqrt{ab}$，证明a＋b＋c≥3 $\sqrt[3]{abc}$？

本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:27 分类

kuing

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2^#

发表于 2011-12-25 11:46

照搬反向归纳法证n元均值不等式的思路即可

下列各元均非负

由 $a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$ 得
\[a+b+c+d\geqslant 2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\geqslant 2\sqrt{2\sqrt{ab}2\sqrt{cd}}=4\sqrt[4]{abcd},\]
令 $d=\frac{a+b+c}3$，代入上式得
\begin{align*}
a+b+c+\frac{a+b+c}3\geqslant 4\sqrt[4]{abc\frac{a+b+c}3} &\iff \frac{a+b+c}3\geqslant \sqrt[4]{abc\frac{a+b+c}3} \\
& \iff \left( \frac{a+b+c}3 \right)^4\geqslant abc\frac{a+b+c}3 \\
& \iff \left( \frac{a+b+c}3 \right)^3\geqslant abc \\
& \iff a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}.
\end{align*}

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

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3^#

发表于 2011-12-25 12:30

2# kuing

谢谢版主！

请问，对于n个非负数，是否也可以这样证明啊？

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4^#

发表于 2011-12-25 17:58

回版主，我找到了一种 n个非负值公式的证明方法。
http://wenku.baidu.com/view/2d95fe3a580216fc700afd10.html

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