有点难度的积分不等式

$f\left( x \right) \in {C^2}\left[ { - l,l } \right]$，$f\left( 0 \right) = 0$

证明：
\[{\Bigg(  {\int\limits_{ - l}^l {f\left( x \right){\text{d}}x} }  \Bigg)^2} \leqslant \frac{{{l^5}}}{{10}}\int\limits_{ - l}^l {{{\left( {f''\left( x \right)} \right)}^2}{\text{d}}x} \]

吧里的题？

把这个坑给填了，这种问题一般都是用分部积分和柯西不等式，但是具体 g(x) 不一定很好找

试图找 g(x) 使得

\[\int\limits_{ - l}^l {f{\text{d}}x}  = \int\limits_{ - l}^l {gf''{\text{d}}x}  \leqslant \sqrt {\int\limits_{ - l}^l {{g^2}{\text{d}}x} \int\limits_{ - l}^l {f'{'^2}{\text{d}}x} } \]

然后对这个题来说，

\[2g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{{\left( {x - l} \right)}^2},0 \leqslant x \leqslant l} \\
  {{{\left( {x + l} \right)}^2}, - l \leqslant x \leqslant 0}
\end{array}} \right.\]

好吧，终于找到这个积分不等式的答案了，西神出过一道题是l=1的特殊情况，国外一本教材上面也有这道题，不过也是l=1的情况（当时没搞到答案）