[数列] 求教一个数列求和

$\dfrac{n^2}{2^n}$

错位相减两次

2# kuing

谢谢版主！
我试试看。

按照二次错位相减后，结果很复杂。
多次演算，得到的结果都不对。
多次检查，也没发现问题。

先前是S1验算也不对。
现在的情况是S1验算正确，S2就不对了。
真是活见鬼！

4# 我为中华添光彩

估计是等比数列的求和错了一位。

4# 我为中华添光彩


每写一个式子，标清楚该式子成立的 n 的范围。

第二次错位相减的时候，n=1 的情况要分开写。

谢谢楼上，也谢谢版主，现在对了。

问题出在等比数列求和上。
$\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+...+\frac1{2^{n-1}}$
$\frac1{2^{n-1}}$不是数列通项。

待定系数法：
\[ S_n=(An^2+Bn+C) \left( \frac{1}{2} \right)^n+D \]

其实可以裂项

怎么裂项啊？和待定系数类似？

人教论坛能上的时候再找贴

哦

嗯，错位相减和裂项相消，其本质是差不多的

先来看错位相减： $a_{n+1} - k a_n = b_n$，如果 $b_n$ 容易求和，部分和数列记为 $T_n$，那么前面的式子可以很自然的转化为 $S_{n+1}-a_1-k S_n = T_n$，注意到 $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$，这里不必按一阶递推数列通法解，直接利用已知的 $a_n$ 表达式即可。平时常见的，证明等比数列求和公式的时候， $b_n$ 是常数列（都是0），当 $a_n$ 是等差和等比相乘（指的是对应项相乘得到新数列）的形式，$b_n$ 是等比数列。而这里，一个二阶等差和一个等比相乘，得到的  $b_n$ 是 等差和等比相乘，它的求和，不作为基本结果直接使用，所以要两次错位相减，写起来麻烦一点，思路是清晰的。至于中间关于 $n$ 的范围什么的，其实是一个习惯性问题，按我前面说的来做，其实没有那麻烦的检验首项：

$a_n = \dfrac{n^2}{2^n}$，则 $2a_{n+1} - a_n = \dfrac{2n+1}{2^n}$，我们先要搞定 $\dfrac{2n+1}{2^n}$ 的求和，
记$b_n = \dfrac{2n+1}{2^n}$，则 $2b_{n+1} - b_n =\dfrac1{2^{n-1}}$，于是有 $2T_{n+1} -2b_1- T_n =2\left(1-\dfrac1{2^n}\right)$，然后不难得到 $T_n =2\left(1-\dfrac1{2^n}\right)+ 2b_1-2b_{n+1}=2\left(1-\dfrac1{2^n}\right)+ 3-\dfrac{2n+3}{2^n}=5-\dfrac{2n+5}{2^n}$。
现在回到原先的式子，可得到 $2S_{n+1} -2a_1- S_n = 5-\dfrac{2n+5}{2^n}$，整理后可得到 $S_n = 5-\dfrac{2n+5}{2^n}+1-\dfrac{(n+1)^2}{2^n}=6-\dfrac{n^2+4n+6}{2^n}$。

关键是减出一个容易求和的数列，或许你会想到一种扩展，如果另有一个数列 $k_n$ 使得数列 $k_n a_n$ 容易求和，我们可以用 $a_{n+1} - k_n a_n = b_n$ 或其他的扩展形式来求 $S_n$，确实可以，但没想到太好的例子（如果你看下去，相信你也会和我有一样的感觉，这不会有什么典型的例子，或许，到这里你已经识破玄机）。

我们先用一种特殊的格式来求 $a_n=\dfrac{n}{2^n}$ 的和：
$2a_{n+1}-\dfrac{a_n}{n}=\dfrac{n+1}{2^n}-\dfrac1{2^n}=a_n$
$2S_n+2a_{n+1}-2a_1 - 1+\dfrac1{2^n} = S_n$
$S_n=1-\dfrac1{2^n}-2a_{n+1}+2a_1=2-\dfrac{n+2}{2^n}$

现在回过头想想，$k_n a_n$ 自成一个数列，虽然含有 $a_n$，最多也就是一种思路提示，其实就是找到了一个数列 $c_n$ 使得 $a_{n+1}-c_n=b_n$，这里  $b_n$ 和 $c_n$ 都容易求和，正负号不重要，下标有点固定的偏移也不重要，其实我们就是找到了一种等式 $a_n=b_n-c_n$，这是什么？看上去就是裂项啊，只不过最典型的裂项一般是 $a_n=b_{n+1}-b_n$，也就是说，同样是三个数列的线性组合得0，典型的错位相减是其中的两个数列直接来自原数列 $a_n$，此时要求第三个容易求和；而典型的裂项相消是其中两个恰好来自同一个数列的前后项，此时不在乎这个数列有没有什么好的性质，第三个直接来自原数列即能对原数列求和，典型裂项其实一开始就已经找到了 $S_n$ 的表达式的关键部分，就差一点点了。
一般情形，是若干数列的线性组合得到零，其中至少一个直接来自原数列，其他的容易求和，一个原数列，另一个写成了容易求和的形式（其实也就是原数列），那就是典型的裂项，如果两个来自原数列前后项，另一个容易求和，那就是典型错位相减。

回到原题，我们可以对原先的方法略作修改：
$a_n = \dfrac{n^2}{2^n}$
$4a_{n+2}-4a_{n+1} + a_n = \dfrac{(n+2)^2-2(n+1)^2+n^2}{2^n} = \dfrac2{2^n}$
$4S_n+4a_{n+2}+4a_{n+1}-4S_n-4a_2-4a_1-4a_{n+1}+4a_1 + S_n = \dfrac{(n+2)^2-2(n+1)^2+n^2}{2^n} = 2-\dfrac2{2^n}$
$S_n = 2-\dfrac2{2^n}-4a_{n+2}+4a_2=2-\dfrac2{2^n}-\dfrac{(n+2)^2}{2^n}+4=6-\dfrac{n^2+4n+6}{2^n}$
这比两次错位相减或者两次裂项要爽快，为什么配那几个系数？其实首先是确定要三项，只看分子，两项的加减要同时消掉两次项和一次项，一般是做不到的，三项则一定能做到，所以我们要用 $a_{n+2}$，它的系数，就是将分母凑到和 $a_n$ 相同，此题$a_n$的分子只有两次项，所以 $a_{n+1}$ 的系数，一个因子是凑分母，一个因子用于消一次项，是$2\times2=4$，最后消掉两次项就是等比了。一般点的情况，这就是一次待定系数。当然，如果你确定和的形式，也能直接待定系数并装模作样验证一番，看上去更无赖一些。


以上只是随口说说，平时可以玩玩，不针对考试。考场上，重要的是你得算对，用最稳妥的办法，答案要写的明显让阅卷老师看清楚，免得迷失在你天马行空的变换之中，无法保证成功率的，最好还是老老实实用常规的形式，即使是数学归纳法。如果确实有把握，也要写的清晰，可以不厌其烦的带上n的范围，写写检验什么的，以免阅卷老师思维惯性扣本不该扣的小分，当然，即使你自己觉得做得很完美，仍然可能因阅卷老师思维僵化或者同类卷子批多了扫一眼没看到他想看到的字而扣分，一切都是命啊。

佩服！
看来你们都是大师，向你们学习！

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我早就在网刊写过这东西了..........
http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxs ... 0110728_1060497.htm