[数论] 来自群：数列101,10101,1010101.....的质数个数

在101,10101,1010101………这种数中质数的个数
问题来自超级群

solution 即求 $a_1=101$，$a_{n+1}=100a_n+1$ 的无穷数列 $\{a_n\}$ 中的质数个数。
不难求出\[a_n=\frac{100^{n+1}-1}{99},\]
下面分奇偶项讨论。
若 $n=2k-1,k\in\mathbb{N}^+$，则
\[a_{2k-1}=\frac{100^{2k}-1}{99}=(100^k+1)\cdot\frac{100^k-1}{99},\]
注意到 $k=1$ 时 $a_1=101$ 的确为质数，而当 $k\geqslant2$ 时 $\dfrac{100^k-1}{99}=a_{k-1}$，所以此时 $a_{2k-1}$ 显然不是质数；
若 $n=2k,k\in\mathbb{N}^+$，则
\[a_{2k}=\frac{100^{2k+1}-1}{99}=\frac{(10^{2k+1}+1)(10^{2k+1}-1)}{99},\]
注意到
\begin{align}
10^{2k+1}+1&=10^{2k+1}-(-1)^{2k+1}\\
&=\bigl(10-(-1)\bigr)\bigl(10^{2k}+10^{2k-1}(-1)+10^{2k-2}(-1)^2+\cdots+(-1)^{2k}\bigr)\\
&=11(10^{2k}-10^{2k-1}+10^{2k-2}-\cdots+1),\\
10^{2k+1}-1&=10^{2k+1}-1^{2k+1}\\
&=(10-1)(10^{2k}+10^{2k-1}+10^{2k-2}+\cdots+1)\\
&=9(10^{2k}+10^{2k-1}+10^{2k-2}+\cdots+1),
\end{align}
故
\[a_{2k}=(10^{2k}-10^{2k-1}+10^{2k-2}-\cdots+1)(10^{2k}+10^{2k-1}+10^{2k-2}+\cdots+1),\]
显然上式右边两括号内都 $>1$，故此时 $a_{2k}$ 均不是质数。
综上所述，$\{a_n\}$ 中只有 $a_1=101$ 是质数。

四个多月后的今天，群里再现此题