琴生不等式

本帖最后由海盗船长于 2011-12-19 22:13 编辑

已知下凸函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，
求证：
\[ f\left( \frac {a+b} {2} \right) \le \frac {1} {b-a} \int _{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \le \frac {f(a)+f(b)}{2}\]

pxchg1200

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2^#

发表于 2011-12-19 21:42

表示无法显示。。。

Let's solution say the method!

kuing

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3^#

发表于 2011-12-19 23:53

2# pxchg1200

这几天mathjax不太稳定
昨天和今天都各有一段时间显示不出来，现在显示OK，不过其实看代码也能知道公式内容了吧应该，这个不复杂

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

pxchg1200

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4^#

发表于 2011-12-20 16:33

1# 海盗船长

证明：
左边：用 $x=t+\frac{a+b}{2} $
$ \int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{\frac{a-b}{2}}^{\frac{b-a}{2}}{f(t+\frac{a+b}{2})dt} $
\[ \int_{\frac{a-b}{2}}^{0}{f(t+\frac{a+b}{2})dt}=\int_{0}^{\frac{b-a}{2}}{f(\frac{a+b}{2}-t)dt}\]
(作 $x=-t$)
\[ \Rightarrow \int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{0}^{\frac{b-a}{2}}{f(t+\frac{a+b}{2}+f(\frac{a+b}{2}-t)dt}\geq (b-a)f(\frac{a+b}{2}) \]
右边：对 $x=(1-k)a+kb$
$ dx=(b-a)dk $
\[ \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{f((1-k)a+kb)dk}\leq \int_{0}^{1}{(1-k)f(a)+kf(b)dk}=\frac{1}{2}(f(a)+f(b)) \]
Done!

Let's solution say the method!

海盗船长

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5^#

发表于 2011-12-20 18:33

本帖最后由海盗船长于 2011-12-20 18:34 编辑

左边还可以用定积分的定义：
取关于$\dfrac{a+b}{2}$对称的点$\xi _i$做分割，然后对每一对这样的点用凸函数性质。

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