[不等式] 嗯，活跃下气氛，来个简单的。（kk来秒杀吧）

Let $a,b,c \geq 0$ prove that:
\[ \frac{1}{2a^{2}+bc}+\frac{1}{2b^{2}+ac}+\frac{1}{2c^{2}+ab}\geq \frac{8}{(a+b+c)^2} \]

1# pxchg1200


完全没看出哪里简单了……

2# kuing


嗯，取等条件是$ a=b, c=0 $ 及其轮换。。 应该够简单了吧。

3# pxchg1200

取等条件很容易看出，不过没发现有什么帮助

4# kuing


接着就Cauchy-Schwarz了啊。。

5# pxchg1200


不懂哩
不知怎么柯才不过……

6# kuing

Hint:
\[ \frac{1}{2a^{2}+bc}+\frac{1}{2b^{2}+ac}+\frac{1}{4c^{2}+2ab}+\frac{1}{4c^{2}+2ab} \geq \cdots \]

7# pxchg1200

这个我也想过刚才，不过好像后面还是反了先睡了明天再玩

8# kuing


另外就是还有这个：
\[ \frac{1}{2a^{2}+bc}+\frac{1}{2b^{2}+ca}+\frac{1}{2c^{2}+ba}\ge\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \]

http://blog.sina.com.cn/s/blog_62a489bd0100w59b.html

10# tian27546


哟，你也来啦。   不过你那个证明好像太复杂了，其实有个简单的CS proof的。

下面这个也是成立的：
\[\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq \frac{2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\]
不过这个比上面那个简单~~~~~