[几何] 2011年浙江会考第41题6分

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2011-12-17 13:27

就第2问，已知圆$x^{2}+y^{2}=4$,过（1，0）直线交圆于A、B,C(4,0),求证∠ACE=∠BCE
解几方法知道的，有没平面几何办法？

这是典型的初中题改编成高中题
本来就是平几题，数据可以一般化，只要C、D关于圆互为反演点（也就是说 $EC\cdot ED=R^2$）就有这样的结论。

找到了08年画的一个图，应该就是在初中论坛做题时留下的东东了

还发现原来当年打错字，是关于 PO 对称才对

3# kuing


似曾相识的感觉.....

试下，看显示对不对。
不等式$1<1/sqrt(1+a)+1/sqrt(1+b)<=2/sqrt(1+sqrt(ab))$，其中$a,b>0,ab<=4$的一种证明．以下记$t=sqrt(ab),x=a+b>=2t,t<=2$．
证明：１．左边的不等式可加强为$1/sqrt(1+a)+1/sqrt(1+b)>=1,a,b>=0,ab<=9$．
两边平方$1/(1+a)+1/(1+b)+2/sqrt((1+a)(1+b))>=1 iff2sqrt((1+a)(1+b))>=ab-1$．
   $ab<=1$情形，上述不等式显然成立；
　若$1<ab<=9$，再次平方上述不等式可化为$a^2b^2-6ab-4(a+b)-3<=0,a+b>=2sqrt(ab)$．只需$a^2b^2-6ab-8sqrt(ab)-3<=0iff(t-3)(t+1)^3<=0ifft-3<=0$，显然．
　　　２．右边不等式$1/sqrt(1+a)+1/sqrt(1+b)<=2/sqrt(1+sqrt(ab))，a,b>0,ab<=4$的证明.
将之平方只需证明：$2(1+t)sqrt(1+a+b+t^2)<=4(1+a+b+t^2)-(1+t)(2+a+b)$，再次平方整理为
$(3-t)^2x^2+8(1-t)^3x+4t(3t^3-6t^2+3t-4)>=0$．记其左端为$f(x)$.
而$f^'(x)=2(3-t)^2x+8(1-t)^3>=4t(3-t)^2+8(1-t)^3=(2-t)(1+t)^2>=0$.
于是$f(x)>=f(2t)=0$，得证！（也可以不求导，直接配方