[不等式] 奇怪的条件

Let $ a,b,c>0$ with
\[ a+b+c\le 12\min\left\{\frac{a^{2}}{a+1},\,\frac{b^{2}}{b+6},\,\frac{c^{2}}{c+15}\right\}. \]
Determine the minimum value of $ a+b+c$
(Vo Quoc Ba Can)

Potla 也发过这个给我看，完全没头绪……

2# kuing


过了没多久，Potla再次表示毫无压力。。。

直观想想也许这样，1。假设a+b+c=k是最小，若有a+b+c<12min{f(a),g(b),h(c)},那么c还可以更小点，直至a+b+c=12h(c)（a,b固定的话），导致k更小。（f(a),g(b),h(c)都是增函数，都过(0,0),如果可以令a=0或b=0或c=0的话）
2。可见假设a+b+c=k是最小，有a+b+c≤12min{f(a),g(b),h(c)},且等号成立，若此时k=a+b+c=h(c)=g(a1)<g(a)(或别的如a+b+c=g(b)<h(c))，则固定k,
令c增大，a减小（但始终比a1大）---如此回到1。的情景
由此推测a+b+c=k最小时候有a+b+c=f(a)=f(b)=f(c),三元3方程组，表示还没想出解法。

来个简单的模仿秀，a,b,c都正数，且a+b+c≤12min{$a^2,b^2,c^2$},求a+b+c的最小值.按上面办法可得$a=b=c=\frac{1}{4}$