[不等式] 典型的薄马甲吓人题 $\sum1/(1+a^{x-y}+a^{y-z})$

题：已知 $x,y,z$ 为实数，且 $0<a\ne1$，求证
\[\frac1{1+a^{x-y}+a^{y-z}}+\frac1{1+a^{y-z}+a^{z-x}}+\frac1{1+a^{z-x}+a^{x-y}}\leqslant1\]
问题转自 http://user.qzone.qq.com/363215694/blog/1317100708 还红大字双叹号


显然，$a^{x-y}\cdot a^{y-z}\cdot a^{z-x}=1$，所以令 $a^{x-y}=u^3, a^{y-z}=v^3, a^{z-x}=w^3$，问题化为：
$u,v,w>0, uvw=1$，有
\[\frac1{1+u^3+v^3}+\frac1{1+v^3+w^3}+\frac1{1+w^3+u^3}\leqslant1\]
这是极为老的问题，由 $u^3+v^3\geqslant uv(u+v)$ 得
\[\frac1{1+u^3+v^3}\leqslant\frac1{1+uv(u+v)}=\frac1{1+\frac{u+v}w}=\frac w{u+v+w}\]
同理得另两个，相加立得。

看错了分母，删去原想法。

每一项均为正，且大于1，简单放缩即可，偶都会http://kkkkuingggg.5d6d.com/bbs.php
isea 发表于 2011-9-27 19:08

且大于1？

3# kuing


小于1，打错字了

4# isea


也没理解上是什么意思，具体写写？

5# kuing
看错题啦

对不等式不熟悉啦

6# isea


噢，没事，慢慢熟悉呵呵

可以看看其他贴，有的还没解决的。。。

实际上有，a^(x-y).a^(y-z)a^(z-x)=1，换元有，uvw=1.

.

9# 图图

真简

想看看答案，哈哈！