积分不等式

设 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 连续且 $f(a)=0$，求证
\[\left|\int_a^bf(x)\text{d}x\right|\leqslant\frac{(b-a)^2}2\max_{a\leqslant x\leqslant b}\left|f'(x)\right|.\]

才发现跟 http://kkkkuingggg.5d6d.com/thread-192-1-1.html 极像的说参考一下先

话说原题是不是需要闭区间呢？否则两端可能不可导，后面的 max 也就。。。。

嗯，借用一下那边的第一步即可了，后面就是注意一下绝对值的东东而已，那边还有柯西，看来还是那个难一点。

记 $\max_{a\leqslant x\leqslant b}\left|f'(x)\right| = k$，设 $x\in[a,b]$，则
\[ f(x)= \int_a^xf'(t)\text dt+f(a)=\int_a^xf'(t)\text dt,\]
于是
\[|f(x)|=\left|\int_a^xf'(t)\text dt\right|\leqslant\int_a^x\left|f'(t)\right|\text dt\leqslant\int_a^xk\text dt=k(x-a),\]
所以
\[\left|\int_a^bf(x)\text dx\right|\leqslant\int_a^b|f(x)|\text dx\leqslant\int_a^bk(x-a)\text dx=\frac{k(b-a)^2}2=\frac{(b-a)^2}2\max_{a\leqslant x\leqslant b}|f'(x)|.\]

其实得到 $|f(x)|\leqslant k(x-a)$ 之后才突然发现几何意义如此明显……

3# kuing


嗯，是闭区间..

4# kuing


还是牛顿-莱布尼茨公式重要啊！