[几何] [求助】证等腰

证等腰
已知三角形ABC，M、N分别为AB、AC上一点，且AM=AN，D为BC中点，∠BDM=∠CDN。求证：三角形ABC为等腰三角形

本主题由 kuing 于 2013-1-19 19:47 分类

kuing

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2^#

发表于 2011-12-7 21:01

今天头晕……
纯平几想不出，反证法也差一点，最后暴力建坐标用解析法证到了

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

kuing

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3^#

发表于 2011-12-8 12:21

贴一下解析法，没学到的或者不接受的可以无视掉

依题意，不失一般性，设 $B(1,0)$，$C(-1,0)$，则 $D(0,0)$。
由 $\angle BDM=\angle CDN$，可设 $DM$ 和 $DN$ 所在直线分别为 $L_{DM}:y=kx$，$L_{DN}:y=-kx$，其中 $k>0$。
设 $A(a,b)$，其中 $b>0$，由 $A$ 在直线 $DM$ 和 $DN$ 的上方，应有 $b^2>k^2a^2$。
直线 $L_{AB}: (a-1)y=b(x-1)$，直线 $L_{AC}: (a+1)y=b(x+1)$，分别联立 $L_{AB}$、$L_{DM}$ 以及 $L_{AC}$、$L_{DN}$，可以求出 $M$、$N$ 的坐标分别为
\[M\left(\frac{b}{b+k-ak},\frac{bk}{b+k-ak}\right),\quad N\left(-\frac{b}{b+k+ak},\frac{bk}{b+k+ak}\right),\]
由条件 $|AM|=|AN|$，得
\[\left(\frac{b}{b+k-ak}-a\right)^2+\left(\frac{bk}{b+k-ak}-b\right)^2=\left(-\frac{b}{b+k+ak}-a\right)^2+\left(\frac{bk}{b+k+ak}-b\right)^2,\]
化简为
\[\frac{4ab\bigl(-(b+k+bk^2)k^2a^2+(b+k)(b^2+bk+k^2+b^2k^2)\bigr)}{\bigl((b+k)^2-a^2k^2\bigr)^2}=0,\]
由 $k,b>0$，$b^2>k^2a^2$ 知
\begin{align*}
-(b+k+bk^2)k^2a^2+(b+k)(b^2+bk+k^2+b^2k^2)&>-(b+k+bk^2)b^2+(b+k)(b^2+bk+k^2+b^2k^2)\\
&=k\bigl((b+k)^2+b^2k^2\bigr)>0,\end{align*}
故只能 $a=0$，可见 $\triangle ABC$ 为等腰三角形。

初中生666

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4^#

发表于 2011-12-8 13:25

非常感谢！顺便说一下此题的来源。11月30号，到北京开会时，茶歇时间，一同事，那了他女儿（初中，初几我忘了问）的这题来问我，结果我想了2天也没想出来。（前几天有人提到反证法，但我想几何问题用反证法，未免太那个了点，嘿嘿）；在人教论坛上得帮助，估计为我朋友的朋友在上面发得。见你是解题高手，于是，我就在这里请教了。再次表示感谢！我总算可以交差了！ BY THE WAY, 难道这题就没有纯几何证法？