[不等式] 【求推广】二阶三角级数的三个小题

设 $T\left( x \right) = {a_1}\cos x + {b_1}\sin x + {a_2}\cos 2x + {b_2}\sin 2x$

对任意的 x ，满足 $T\left( x \right) \leqslant 1$

求：$a_1^2 + b_1^2$ 的最大值，$a_2^2 + b_2^2$ 的最大值，$T\left( x \right)$ 的最小值。

前两问变形成 $T\left( x \right) = {A_1}\cos \left( {x - {\varphi _1}} \right) + {A_2}\cos \left( {2\left( {x - {\varphi _2}} \right)} \right)$

令 $x-{\varphi_1}=\pm\frac{\pi}{4}$，可得 $\frac{{{A_1}}}{{\sqrt 2 }} \pm{A_2}\sin 2\Delta\varphi \leqslant 1$ 于是 ${A_1} \leqslant \sqrt 2 $
令 $x - {\varphi _2} = \frac{\pi }{2} \pm \frac{\pi }{2}$ ，可得 $\pm {A_1}\cos \Delta \varphi  + {A_2} \leqslant 1$ 于是 ${A_2} \leqslant 1$

第三问注意到 $f\left( x \right) + f\left( {x + \frac{1}{3}\pi } \right) + f\left( {x + \frac{2}{3}\pi } \right) = 0$ ，从而 $f\left(x\right)\geqslant-2$