ff=g 类型问题的常用思路

即已知 $g\left( x \right)$ 求 $f\left( x \right)$ 使得 $f \circ f = g$ ，有时也许会要求 f 连续/可微

1# icesheep


靠，发帖超时，没得恢复……

不写了，迭代根问题很麻烦的，很多函数没有连续的两次迭代根，比如严格单调减的函数就一定没有连续迭代根。

即使是看上去最有希望的严格单调增的连续函数，迭代根是肯定有的，但是基本上都是无限个，比如说，定义在$[a,b]$上，$g(a)=a,g(b)=b$ ，且恒有 $g(x)>x$ ，则任意给定定义在 $[x_0,x_1]$ 上的 $f_0(x)$ ，这里 $x0$ 任取，我们要求 $x_0<f_0(x_0)=x_1<f_0(x_1)=g(x_0)$ ， 就能拼凑出一个严格单调增的连续函数 $f$ 满足 $f\circ f=g$ 且在 $[x_0,x_1]$ 上 $f=f_0$ 。也就是迭代根无限多个。 （具体表达式不保证能写出来）

所以不太可能见到求迭代根的题目

简单的结论，比如 $ a^2x+b (a\ne0) $ ，有同样为一次函数的两次迭代根 $ax+\dfrac{b}{a+1}$ ，一般是两条， $x+b (b\ne0)$ 则是一条， $f(x)=x$ 则为无穷多条
又比如 $\dfrac{x}{1+2bx}$ 有两次迭代根 $\dfrac{x}{1+bx}$ 等。

1# icesheep


靠，发帖超时，没得恢复……
①②③④⑤⑥⑦ 发表于 2011-12-5 11:26

呃，工具栏里不是有“恢复数据”的功能么

3# kuing

也没啥，具体过程懒得再写了，连续、严格单调增的，两端是不动点，中间没有不动点的，都可以类似的定好初值段，然后构造出一个解（递推+极限过程，解决的是存在性），更多不动点的逐段分别操作就是，两端不是不动点的（当然要求值域不超出定义域），延拓一下

若g(x)为定义在R上的严格单调递增的连续函数（可以没有不动点，比如 g(x)=e^x），是否一定存在连续 f ？

或者能给一个存在连续 f 的充分条件？

5# icesheep


那我们就对 $g(x)=e^x$ 构造一个二次迭代根，注意到定义域 $R$ 而值域是 $(0,+\infty)$，两者不一样，所以不适合从中间任意取点定初值，我们寻找连续的严格单调增的 $f$，容易知道，这个 $f$ 一定是 $(-\infty,+\infty) \rightarrow (a,+\infty) \rightarrow (0,+\infty)$，这里 $a<0$，下面我们取 $a=-1$，
我们选一个定义在 $(-\infty,-1]$ 上的函数，$f_0(x)=\dfrac{1+x}{1-x}$，它有反函数：$f_0^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{x+1}，  x\in(-1,0]$。
现在定义 $(-1,0]$ 上的函数 $f_1=g\circ f_0^{-1}$ ，可以具体写出来：$$f_1(x)=e^{\frac{x-1}{x+1}}$$
由于$f_1(0)=e^{-1}$，接下来我们定义 $(0,e^{-1}]$ 上的函数：$f_2=g\circ f_1^{-1}=g\circ f_0 \circ g^{-1}$
继续定义 $(e^-1, 1]$ 上的 $f_3=g\circ f_2^{-1}=g^2\circ f_0^{-1} \circ g^{-1}$
$(1,e^{e^{-1}}]$ 上的 $f_4=g\circ f_3^{-1}=g^2\circ f_0 \circ g^{-2}$
……

我们的到数列：$a_0=-1, a_1=0, a_{n+2}=e^{a_n}$
区间：$I_0=(-\infty,-1], I_n=(a_{n-1},a_n]$
定义在各 $I_n$ 上的函数： $f_0, f_{n+1}=g\circ f_n^{-1}$，$f_n$ 的值域是 $I_{n+1}$
（前面已有最初几个的构造，归纳法具体细节略）

$a_n$ 无疑是单调增的，趋向无穷大的，将所有这些 $f_n$ 拼接成 $R$ 上的函数 $f$，对任意的实数 $x$，必然有唯一的自然数 $n$ 使得 $x\in I_n$，$$f(f(x))=f_{n+1}(f_n(x))=g(x)$$

这个有一般性么，无法由此导出一个对5L命题的证明啊，那我换一个 $g\left( x \right) = {x^3} + x$

7# icesheep


这个是 $R\rightarrow R$ 的，我觉得把 $\pm\infty$ 视作两个不动点，前面说的那样中间开始定义初值往两边递推应该可以，虽然没实际操作，实在懒得再弄第三遍了（第一遍操作超时毁了，没恢复成功，第二遍我自己先在记事本写的，因为定义域值域不一致又无法延拓，所以实际练手了一次），你有兴趣自己玩吧:)。

都搞糊涂了，$g(x)=x^3+x$ 有一个不动点的，用类似的方法得分两段做。

考虑到这是个奇函数，其实只要把 $(0,+\infty)$ 上的搞出来就足够了，这个恰好也是满足 $g(x)>x$ 的，和前面一样，有兴趣你就自己构造一下吧，遇到麻烦再说。

9# ①②③④⑤⑥⑦


遇到了啊，第一段【X0,X1】和其上的 f1 就构造不出，要不你给我起个头，我接下来再想想。

10# icesheep


具体形式不重要的啊。你想选怎样的 $x_0$？内部任取的啊，要求是 $0<x_0<f_0(x_0)=x_1<f_0(x_1)=g(x_0)$，那就选 $x_0=2, f_0(x)=x+4$ 好了，$I_0=[2,6]$，往两边推，$f_1=g\circ f_0^{-1}，f_{-1}=f_0^{-1}\circ g，\cdots$，$g$的反函数不太好写，但我们本来就没指望这样的方法得到一个形式简单的函数，不需要写出来啊。

示意图：

(53.69 KB)

2011-12-16 11:50

蓝色实线是 $y=x$，忘了标了。 $f_{-1},f_{-2},...$ 都不是直线段，只是有点接近