[不等式] 高斯函数的三元分式最小值

已知 $a,b,c>0$，求
\[\left[\frac{b+c}a\right]+\left[\frac{c+a}b\right]+\left[\frac{a+b}c\right]\]
的最小值。

其实不难，不过看着感觉有点意思，翻贴的时候意外瞧到的

有些意思。易误用均值。

1# kuing

请问，最小值是6吗？

(b/a+a/b)+(c/b+b/c)+(c/a+a/c)
≥2+2+2=6
(当且仅当a＝b＝c时取等）

(b/a+a/b)+(c/b+b/c)+(c/a+a/c)
≥6 (b/a×a/b×c/b×b/c×c/a×a/c）^(1/6)=6
（当且仅当a＝b＝c时取等）

这两种算法哪一种是对的？请指教！

从循环不等式角度考虑   或许有些收获

3楼的同志说得对，4楼就一头掉进陷阱里了
由于式子轮换，直接设$a\le{b}\le{c}$
那么有$$[\frac{b+c}{a}]\ge2,[\frac{a+c}{b}]\ge1$$
由于整个式子各项都是整数，那么显然加起来至少都是3，此时要求$[\frac{b+c}{a}]=2,[\frac{a+c}{b}]=1,[\frac{a+b}{c}]=0$
即$b+c<3a,a+c<2b,a+b<c$同时满足
问题是前两式相加就已经有$2c<2a+b,c<a+\frac{b}{2}<a+b$了，第三式无法满足
那么只能退而求其次，整个式子值为4
这个就简单多了，随便举个例子就完了，比如$a=0.8,b=1,c=1.1$，就有最小值4了

7# 战巡

我倒觉得4楼不知道高斯函数 [ ] 是啥，你看他直接忽略了中括号就分开组合了

正确用均值也可以直接证 $\geqslant4$

由 $[x]>x-1$ 及均值不等式得
\[
\left[\frac{b+c}a\right]+\left[\frac{c+a}b\right]+\left[\frac{a+b}c\right]>\frac{b+c}a-1+\frac{c+a}b-1+\frac{a+b}c-1\geqslant3
\]
从而
\[
\left[\frac{b+c}a\right]+\left[\frac{c+a}b\right]+\left[\frac{a+b}c\right]\geqslant4
\]
举取等条件如战巡。

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