[不等式] 三角函数几何不等式$\sum\cos(A/2)$与$\sum\cos((B-C)/2)$

在 $\triangle ABC$ 中，求证
\[\cos\frac A2+\cos\frac B2+\cos\frac C2\geqslant \frac{\sqrt3}2\left( \cos\frac{A-B}2+\cos\frac{B-C}2+\cos\frac{C-A}2 \right).\]

由于有恒等式
\[\sum{\cos{\frac{A-B}{2}}}=2\sum{\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}}+\sum{\sin{\frac{A}{2}}}\]
故原不等式等价于
\[\sum{\cos{\frac{A}{2}}}\geq \sqrt{3}\sum{\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sum{\sin{\frac{A}{2}}}\]
作变换$A=\pi-2X, B=\pi-2Y, C=\pi-2Z$, 则$\Delta XYZ$为锐角三角形,上式变为
\[\sum{\sin{X}}\geq \sqrt{3}\sum{\cos{X}\cos{Y}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sum{\cos{X}}\]
将上式整理成关于$s,R,r$的表达式，则等价于
\[\frac{s}{R}\geq \sqrt{3}\left(\frac{s^2+r^2}{4R^2}-1\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{r}{R}+1\right)\]
等价于
\[s\leq\frac{2\sqrt{3}R+\sqrt{30R^2-18Rr-9r^2}}{3}\]
由Gerretsen不等式有$s\leq \sqrt{4R^2+4Rr+3r^2}$,只需证明
\[\sqrt{4R^2+4Rr+3r^2}\leq \frac{2\sqrt{3}R+\sqrt{30R^2-18Rr-9r^2}}{3}\]
等价于
\[\frac{4}{3}(R-2r)(6r^3+21r^2R+24rR^2+13R^3)\geq 0\]
上式显然成立.故原不等式得证.由证明过程知当且仅当$\Delta ABC$为正三角形时取得等号.

唔，还是 sRr 有点点暴力鸟……
有空再验算下

转个简单证法过来

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2012-11-15 19:26

最关键莫过于注意到了第一个恒等式
\[
\sum\cos\frac{B-C}2=\frac12\left(\left(\sum\sin\frac A2\right)^2+\left(\sum\cos\frac A2\right)^2-3\right)
\]
niubility了