定积分：$\int\limits_0^{+\infty}{\sin{x^2}dx}$

求各种方法计算：\[\int\limits_0^{ + \infty } {\sin {x^2}dx} \]

kk有方法计算么？ 我表示压力啊。

有的话也回贴了………… 我高等的还很菜……

\[\int\limits_0^\infty  {\cos {x^2}dx}  - i\int\limits_0^\infty  {\sin {x^2}dx}  = \int\limits_0^\infty  {{e^{ - i{x^2}}}dx} \]

作换元 $z = \frac{{1 + i}}{{\sqrt 2 }}x$

\[\int\limits_0^\infty  {{e^{ - i{x^2}}}dx}  = \frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^\infty  {{e^{ - {z^2}}}dz}  = \frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt \pi  }}{2}\]

复数也来了，牛了

5# kuing


\[
\Gamma{(\frac{1}{2})}=\sqrt{\pi}=\int_{0}^{\infty}{x^{-\frac{1}{2}}e^{-x}dx}
\]
\[ \Rightarrow \int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \]
(Euler-Poisson)
\[ \int_{0}^{\infty}{\sin{t^{2}}dt}=\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin{x}}{2\sqrt{x}}
dx} \]
\[ \int_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}= \sqrt{t}
\int_{0}^{\infty}{e^{-u^{2}t}du}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\] (Let $
x=u\sqrt{t}$ )
\[
\frac{1}{\sqrt{x}}=\int_{0}^{\infty}{e^{-u^{2}t}\frac{2}{\sqrt{\pi}}du}
\]
\[\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin{x}}{2\sqrt{x}}dx}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{\sin{t}\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-u^{2}t}du}dt}\]
由于一致收敛性，故可以交换积分号
\[ \Leftrightarrow
\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{\sin{t}e^{-u^{2}t}dt}du}
=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{1+u^{4}}du}=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}
\]
Done!

这是菲涅尔积分。用柯西积分定理很快就可以算出的。应该是$\sqrt{\frac{\pi}{8}}$。