[不等式] 轮换不等式，$a,b,c$

Let $a,b,c >0$ prove that:
\[ \frac{a^{3}+bc^{2}}{a^{3}+a^{2}c}+\frac{b^{3}+ca^{2}}{b^{3}+b^{2}a}+\frac{c^{3}+b^{2}a}{c^{3}+c^{2}b}\geq 3 \]

由$Cauchy$不等式有:$(a^3+bc^2)(a+b)\geq (a^2+bc)^2$. 所以只需证明
\[\sum_{cyc}{\frac{(a^2+bc)^2}{a^2(a+b)(a+c)}}\geq 3\]
再由$Cauchy$不等式可得
\[\sum_{cyc}{\frac{(a^2+bc)^2}{a^2(a+b)(a+c)}}\geq \frac{(a+b+c+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c})^2}{(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)}\]
又有$\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$, 代入则只需证明
$4(a+b+c)^2\geq 3[(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)]$
展开可知显然成立.

又见楼上，嘿嘿


PS：今天的mathjax公式好像显示不出来，不知啥事情

额，闲着没事做，随便写写。。。。。。

今天我这显示也正常了，nice one 啊