高数、求导问题

讨论函数y=x|x|在x=0处的可导性

$y=f(x)=x|x|$。当 $x\geqslant0$ 时 $f(x)=x^2$，当 $x<0$ 时 $f(x)=-x^2$，故
\begin{align*}
\lim_{x\to0^+}&=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to0^+}x=0,\\
\lim_{x\to0^-}&=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{-x^2}{x}=\lim_{x\to0^-}-x=0,
\end{align*}
故 $f'(0)=0$