不定积分$\int 1/(1+x^n) \mathrm{d} x$能不能求出递推公式？

RT

感觉不行

瞎逛看到一个定积分的式子：

\[\int\limits_0^\infty  {\frac{{dx}}{{1 + {x^n}}}}  = \frac{\pi }{n}\csc \left( {\frac{\pi }{n}} \right)\]

3# icesheep
用留数做.数分方法可参考谢惠明数学分析习题课讲义上册最后一章的参考题

瞎逛看到一个定积分的式子：

\[\int\limits_0^\infty  {\frac{{dx}}{{1 + {x^n}}}}  = \frac{\pi }{n}\csc \left( {\frac{\pi }{n}} \right)\]
icesheep 发表于 2012-1-23 16:41

做代换$t=x^n$，得到
$$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^n}dx=\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{\frac{1}{n}-1}}{1+t}dt$$
再代换$y=\frac{1}{t}-1$，原式变为
$$\displaystyle\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{\frac{1}{n}-1}}{1+t}dt=\frac{1}{n}\int_{0}^{1}(1-y)^{\frac{1}{n}-1}y^{-\frac{1}{n}}dy=\frac{1}{n}B(\frac{1}{n},1-\frac{1}{n})$$
然后由余元公式就得到那个东西了