[不等式] 常见放缩成等比 $1/(2^{k+1}-1)\leqslant1/(3\cdot2^{k-1})$

求证
\[\frac1{2^2-1}+\frac1{2^3-1}+\frac1{2^4-1}+\cdots+\frac1{2^{n+1}-1}<\frac23\quad (n\in\mathbb{N}^+)\]
由\[\frac1{2^{k + 1} - 1}\leqslant\frac1{3\cdot2^{k - 1}}
\iff\frac{2^{k-1} - 1}{3 \cdot 2^{k - 1}\left(2^{k + 1} - 1\right)}\geqslant0
\]对任意 $k\geqslant1$ 成立，得
\begin{align}
\frac1{2^2-1}+\frac1{2^3-1}+\frac1{2^4-1}+\cdots+\frac1{2^{n+1}-1}
&\leqslant\frac13\left(1+\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\right)\\
&=\frac13\left(2-\frac1{2^{n-1}}\right)\\
&<\frac23
\end{align}