又到求极限时间

学生-小愚(4600*****)   
当x趋近于无穷时，求x((1+1/x)^x-e)

洛啊洛：
\begin{align*}
\lim_{x\to\infty}x\left(\left(1+\frac1x\right)^x-e\right)&=\lim_{t\to0}\frac{(1+t)^{\frac1t}-e}t\\
&=\lim_{t\to0}\left((1+t)^{\frac1t}\right)'\\
&=\lim_{t\to0}\frac{(1+t)^{\frac1t}\bigl(t-(1+t)\ln(1+t)\bigr)}{t^2(1+t)}\\
&=\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac1t}\cdot\lim_{t\to0}\frac{\bigl(t-(1+t)\ln(1+t)\bigr)'}{\bigl(t^2(1+t)\bigr)'}\\
&=e\cdot\lim_{t\to0}\frac{-\ln(1+t)}{t(2+3t)}\\
&=-e\cdot\lim_{t\to0}\frac{\bigl(\ln(1+t)\bigr)'}{\bigl(t(2+3t)\bigr)'}\\
&=-e\cdot\lim_{t\to0}\frac1{2(1+t)(1+3t)}\\
&=-\frac e2.
\end{align*}
能不能不洛？

换个说法而已。
令$x=\frac{1}{t}$,记$f(t)=(1+t)^{\frac{1}{t}}$,则
$$f(0)=\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$$，
利用导数定义，得
$$\lim_{x\to\infty}x((1+\frac{1}{x})^x-e)=\lim_{t\to0}\frac{(1+t)^{\frac{1}{t}} -e}{t}=\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t-0}=f'(0)=\cdots$$

泰勒展开咯.....
$$(1+t)^{\frac{1}{t}}$$在原点展开得到
$$e-\frac{et}{2}+o(t^3)$$
$$\lim_{t\to0}\frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}-e}{t}=\lim_{t\to0}\frac{-\frac{et}{2}+o(t)}{t}$$
$$=-\frac{e}{2}$$

泰勒展开咯.....
$$(1+t)^{\frac{1}{t}}$$在原点展开得到
$$e-\frac{et}{2}+o(t^3)$$
$$\lim_{t\to0}\frac{(1+t)^{\frac{1}{t}}-e}{t}=\lim_{t\to0}\frac{-\frac{et}{2}+o(t)}{t}$$
$$=-\frac{e}{2}$$
战巡 发表于 2012-1-7 21:57

第二个式应该是 o(t) 吧，不过话说回来，$(1+t)^{\frac1t}$ 在原点展开是怎么展开的？怎样操作？

4# kuing


$\displaystyle (1+t)^{\frac{1}{t}}=\exp{\left( \frac{\ln(1+t)}{t} \right)}=\exp{\left(1-\frac{t}{2}+o(t)\right)}=\mathrm{e}\left( 1-\frac{t}{2}+o(t) \right)$

5# 海盗船长


噢，如此……