一道积分证明题

设$f(x):[0,+\infty)\to[0,+\infty) $是一个连续函数。且对任意的$x\in[0,+\infty)$满足$ f(f(x))=x^{2} $ 证明:
\[ \int_{0}^{1}{f(x)dx}\leq \frac{1}{2} \]
(proposed by Mateescu Constantin )

先证单调性，然后应该就好做了

如果一个连续函数非递增也非递减，那么一定存在 $a \ne b$ 使得$f\left( a \right) = f\left( b \right) = L$，于是 ${a^2} = f\left( {f\left( a \right)} \right) = f\left( L \right) = f\left( {f\left( b \right)} \right) = {b^2}$ 与 $a \ne b$ 矛盾！

又若函数递减，则函数有界，而 x^2 无界，故函数递增。

只需证函数不在 [0,1] 的任何子区间上大于 x 即可

(反证法) 若 $\exists \left( {a,b} \right) \subseteq \left[ {0,1} \right]$ 使 $f\left( x \right) > x,\forall x \in \left( {a,b} \right)$

则对任意的 ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$ 或者有 $0 \le f\left( x_0 \right) \le a$ 或者有 $f\left( x_0 \right) \ge b$

否则 $x_0^2 = f\left( {f\left( {{x_0}} \right)} \right) > f\left( {{x_0}} \right) > {x_0}$ 矛盾！

若 $f\left( {{x_0}} \right) \ge b > {x_0}$ ，则 $x_0^2 = f\left( {f\left( {{x_0}} \right)} \right) < {x_0} < f\left( {{x_0}} \right)$ 和单调性矛盾；

若 $f\left( {{x_0}} \right) \le a < {x_0}$，则和假设矛盾。

故函数不在[0,1]的任何子区间上大于 x