一道有趣的代数题

a,b 是环 R 中的元素，若 1-ab 可逆，则 1-ba 可逆。

【备注：题和解答都没涉及多少概念，只需注意环中乘法不满足交换律】
【提示：虽然是代数题，不妨用分析的眼光来看】

1# icesheep


个人觉得环R要有单位元e.
proof:
设$c=(e-ab)^{-1}$,则
\[ e-ba=e-bc(e-ab)^{-1}a=e-bca+bcaba=e-bca(e-ba). \]
\[ (e+bca)(e-ba)=e. \]
又有 \[ (e-ba)(e+bca)=e-ba+bca-babca=e-ba+b(e-ab)ca=e \]
所以$e-ba$可逆
\[ (e-ba)^{-1}=e+bca=e+b(e-ab)^{-1}a \]

题目中出现1了当然说明有乘法单位元啦

关键是 (1+bca) 是怎么猜出来它就是 (1-ba) 的逆元的，一种猜测方法就是如下：
\begin{align}
\begin{array}{l}
\frac{1}{{1 - ba}}& = 1 + ba + baba + bababa + ... \\
& = 1 + b\left( {1 + ab + abab + ...} \right)a \\
& = 1 + b\frac{1}{{1 - ab}}a \\
& = 1 + b{\left( {1 - ab} \right)^{ - 1}}a \\
\end{array}
\end{align}

3# icesheep


哈哈。。。我们高代老师也是教我们这么猜的。。。