纯粹记录网址-反三角函数

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5 ... 2%E5%87%BD%E6%95%B0

学习了，谢谢！收获不少！

2# wayne


你是数学研发论坛的 wayne ?

链接里只有公式没有推导，闲来无事，来试试推推先。

设 $\arccos x=t$，则 $\cos t=x$，故 $\sin^2t=1-x^2$，由于 $\arccos x$ 的值域为 $[0,\pi]$，所以 $\sin t$ 一定是非负的，因此可以两边开方得 $\sin t=\sqrt{1-x^2}$。如果 $x\in[0,1]$，则 $t\in[0,\pi/2]$，此时得 $t=\arcsin\sqrt{1-x^2}$；如果 $x\in[-1,0)$，则 $t\in(\pi/2,\pi]$，此时得 $t=\pi-\arcsin\sqrt{1-x^2}$。所以得到公式
\[\arccos x=\begin{cases}
\arcsin\sqrt{1-x^2},&x\in[0,1],\\
\pi-\arcsin\sqrt{1-x^2},&x\in[-1,0).
\end{cases}
\]
设 $\arcsin x=t$，则 $\sin t=x$，故 $\cos^2t=1-x^2$，由于 $\arcsin x$ 的值域为 $[-\pi/2,\pi/2]$，所以 $\cos t$ 一定是非负的，因此可以两边开方得 $\cos t=\sqrt{1-x^2}$。如果 $x\in[0,1]$，则 $t\in[0,\pi/2]$，此时得 $t=\arccos\sqrt{1-x^2}$；如果 $x\in[-1,0)$，则 $t\in[-\pi/2,0)$，此时得 $t=-\arccos\sqrt{1-x^2}$。所以得到公式
\[\arcsin x=\begin{cases}
\arccos\sqrt{1-x^2},&x\in[0,1],\\
-\arccos\sqrt{1-x^2},&x\in[-1,0).
\end{cases}
\]
由上述两公式也就得到恒等式
\[
\sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}.
\]

由上述恒等式，我们有
\[\sin(\arcsin x + \arcsin y) = x \cos(\arcsin y) + y \cos(\arcsin x) = x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2},\]
因为 $\arcsin x$ 的值域是 $[-\pi/2,\pi/2]$，所以 $\arcsin x + \arcsin y$ 的取值范围是 $[-\pi,\pi]$，下面分类讨论。
如果 $\abs{\arcsin x + \arcsin y}\leqslant \pi/2$，则
\[\arcsin x + \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right);\]
如果 $\arcsin x + \arcsin y > \pi/2$，则
\[\arcsin x + \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right);\]
如果 $\arcsin x + \arcsin y < - \pi/2$，则
\[\arcsin x + \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right).\]
理论上这样已经足够给出 $\arcsin x + \arcsin y$ 的公式，但是在判断是哪段的时候那个比较大小并不方便操作，有必要再化简一下。
考虑不等式 $\arcsin x + \arcsin y > \pi/2$，由于 $\arcsin x$ 的值域是 $[-\pi/2,\pi/2]$，所以要使不等式成立，$\arcsin x$ 和 $\arcsin y$ 必须都是正的，亦即 $x$, $y$ 都是正数，故此有
\begin{align*}
\arcsin x + \arcsin y > \frac\pi2 &\iff \arcsin x > \frac\pi2-\arcsin y \\
&\iff x > \sin\left(\frac\pi2-\arcsin y\right)=\cos(\arcsin y)=\sqrt{1-y^2}\\
&\iff x^2+y^2>1,
\end{align*}
同理可证，当 $\arcsin x + \arcsin y < - \pi/2$ 等价于 $x$, $y$ 都是负数且 $x^2+y^2>1$。
故此 $\abs{\arcsin x + \arcsin y}\leqslant \pi/2$ 就是除这两种情况外的情况，即等价于 $xy\leqslant0$ 或 $x^2+y^2\leqslant1$。

综上即得公式
\[\arcsin x + \arcsin y=\begin{cases}
\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right),& xy\leqslant0\vee x^2+y^2\leqslant1,\\
\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right),& x>0\wedge y>0\wedge x^2+y^2>1,\\
- \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right),& x<0\wedge y<0\wedge x^2+y^2>1.
\end{cases}\]
将 $y$ 变成 $-y$ 即得差的公式
\[\arcsin x - \arcsin y=\begin{cases}
\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\right),& xy\geqslant0\vee x^2+y^2\leqslant1,\\
\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\right),& x>0\wedge y<0\wedge x^2+y^2>1,\\
- \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\right),& x<0\wedge y>0\wedge x^2+y^2>1.
\end{cases}\]
wiki 那里没标明后面的或和且，最后那条式还写错了。

用类似的方法来推导 $\arccos$ 的和差公式，比 $\arcsin$ 的要简单。
\[\cos(\arccos x - \arccos y) = xy + \sin(\arccos x)\sin(\arccos y) = xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)},\]
因为 $\arccos x$ 的值域是 $[0,\pi]$，所以 $\arccos x - \arccos y$ 的取值范围是 $[-\pi,\pi]$，下面分类讨论。
如果 $\arccos x - \arccos y\geqslant 0$，则
\[\arccos x - \arccos y = \arccos\left(xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right);\]
如果 $\arccos x - \arccos y<0$，则
\[\arccos x - \arccos y = -\arccos\left(xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right).\]
注意到 $\arccos x$ 是单调递减函数，故 $\arccos x - \arccos y\geqslant(<) 0 \iff x\leqslant(>) y$，所以得到公式
\[\arccos x - \arccos y=\begin{cases}
\arccos\left(xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right),& x\leqslant y,\\
-\arccos\left(xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right),& x>y.
\end{cases}\]
将 $y$ 变成 $-y$，注意到 $\arccos(-y)=\pi-\arccos y$，得到和的公式
\[\arccos x + \arccos y=\begin{cases}
\pi+\arccos\left(-xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right),& x+y\leqslant0,\\
\pi-\arccos\left(-xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right),& x+y>0.
\end{cases}\]
这跟 wiki 中的公式是等价的。

来玩玩 $\arctan$ 的。
设 $\arctan x=t$，则 $t\in(-\pi/2,\pi/2)$ 且 $\tan t=x$，于是由 $x^2=\sin^2t/(1-\sin^2t)$ 解得 $\sin^2t=x^2/(1+x^2)$。如果 $x\geqslant0$，则 $t\in[0,\pi/2)$，故 $\sin t=\sqrt{x^2/(1+x^2)}=x/\sqrt{1+x^2}$；如果 $x<0$，则 $t\in(-\pi/2,0)$，故 $\sin t=-\sqrt{x^2/(1+x^2)}=x/\sqrt{1+x^2}$。所以总有 $\sin t=x/\sqrt{1+x^2}$，再由 $t\in(-\pi/2,\pi/2)$ 即得公式
\[\arctan x=\arcsin\frac x{\sqrt{1+x^2}}.\]
和差就比上面的简单了，因为两角和差正切公式出来的东东还是正切，不像正余弦那么混合，但由于定义域问题，分的类又要多一些。
因为 $\arctan x$ 的值域是 $(-\pi/2,\pi/2)$，所以 $\arctan x+\arctan y$ 的取值范围是 $(-\pi,\pi)$，下面分类讨论。
当 $\abs{\arctan x+\arctan y}\ne\pi/2$ 时，有
\[\tan(\arctan x+\arctan y)=\frac{x+y}{1-xy},\]
如果 $\abs{\arctan x+\arctan y}<\pi/2$，则
\[\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy};\]
如果 $\arctan x+\arctan y>\pi/2$，则
\[\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy}+\pi;\]
如果 $\arctan x+\arctan y<-\pi/2$，则
\[\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy}-\pi.\]
考虑不等式 $\arctan x+\arctan y>\pi/2$，由于 $\arctan x$ 的值域是 $(-\pi/2,\pi/2)$，所以要使不等式成立，$\arctan x$ 和 $\arctan y$ 都必须是正的，亦即 $x$, $y$ 都是正数，故此
\begin{align*}
\arctan x+\arctan y>\frac\pi2 &\iff \arctan x>\frac\pi2-\arctan y \\
&\iff x>\tan\left(\frac\pi2-\arctan y\right)=\cot(\arctan y)=\frac1y\\
&\iff xy>1,
\end{align*}
同理可证，$\arctan x+\arctan y<-\pi/2$ 等价于 $x$, $y<0$ 且 $xy>1$；$\arctan x+\arctan y=\pi/2$ 等价于 $x$, $y>0$ 且 $xy=1$；$\arctan x+\arctan y=-\pi/2$ 等价于 $x$, $y<0$ 且 $xy=1$。
而 $\abs{\arctan x+\arctan y}<\pi/2$ 就是除以上情况外的情况，即等价于 $xy<1$。

综上即得公式
\[\arctan x + \arctan y=\begin{cases}
\frac\pi2,&x>0\wedge y>0\wedge xy=1,\\
-\frac\pi2,&x<0\wedge y<0\wedge xy=1,\\
\arctan\frac{x+y}{1-xy},& xy<1,\\
\arctan\frac{x+y}{1-xy}+\pi,& x>0\wedge y>0\wedge xy>1,\\
\arctan\frac{x+y}{1-xy}-\pi,& x<0\wedge y<0\wedge xy>1.
\end{cases}\]
将 $y$ 变成 $-y$，即得差的
\[\arctan x - \arctan y=\begin{cases}
\frac\pi2,&x>0\wedge y<0\wedge xy=-1,\\
-\frac\pi2,&x<0\wedge y>0\wedge xy=-1,\\
\arctan\frac{x-y}{1+xy},& xy>-1,\\
\arctan\frac{x-y}{1+xy}+\pi,& x>0\wedge y<0\wedge xy<-1,\\
\arctan\frac{x-y}{1+xy}-\pi,& x<0\wedge y>0\wedge xy<-1.
\end{cases}\]

话说……怎么没有 $\arcsin(x+y)$ 的展开什么的？

话说……怎么没有 $\arcsin(x+y)$ 的展开什么的？
kuing 发表于 2012-12-5 22:56

看嘛，那些公式都不过是把已有的三角公式换个写法，就类似于指数的乘法与对数加法，其实一个鸟样，但 $\arctan{(x+y)}$ 这个似乎就没有对应的三角公式