[不等式] 比较大小

在区间（0，π/2)内试比较tan(sinx)与sin（tanx)的大小，并证明你的结论。

本主题由 kuing 于 2013-1-19 19:33 分类

icesheep

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发表于 2011-11-16 15:06

\[\tan \left( {\sin x} \right) = x + \frac{{{x^3}}}{6} - \frac{{{x^5}}}{{40}} - \frac{{107{x^7}}}{{5040}} + o\left( {{x^8}} \right)\]

\[\sin \left( {\tan x} \right) = x + \frac{{{x^3}}}{6} - \frac{{{x^5}}}{{40}} - \frac{{55{x^7}}}{{1008}} + o\left( {{x^8}} \right)\]

张平

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发表于 2011-11-16 21:42

贴答案吧

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2011-11-16 21:42

___________kuing edit in $\LaTeX$___________

解设$f(x)=\tan(\sin x)-\sin(\tan x)$，则
\[f'(x)=\sec^2(\sin x)\cos x-\cos(\tan x)\sec^2x=\frac{\cos^3x-\cos(\tan x)\cos^2(\sin x)}{\cos^2(\sin x)\cos^2x}.\]
当$0<x<\arctan(\pi/2)$时，$0<\tan x<\pi/2$，$0<\sin x<\pi/2$。由余弦函数在$(0,\pi/2)$上的凸性有
\[\sqrt[3]{\cos(\tan x)\cos^2(\sin x)}\leqslant \frac13\bigl(\cos(\tan x)+2\cos(\sin x)\bigr)\leqslant \cos\frac{\tan x+2\sin x}{3}.\]
设$\varphi(x)=\tan x+2\sin x-3x$，则
\[\varphi'(x)=\sec^2x+2\cos x-3=\tan^2x-4\sin^2\frac x2>0,\]
于是
\[\tan x+2\sin x>3x,\]
所以
\[\cos\frac{\tan x+2\sin x}3<\cos x,\]
即
\[\cos(\tan x)\cos^2(\sin x)<\cos^3x.\]
于是，当$x\in(0,\arctan(\pi/2)$时，$f'(x)>0$，又$f(0)=0$，所以$f(x)>0$；当$x\in[\arctan(\pi/2),\pi/2)$时，$\sin\bigl(\arctan(\pi/2)\bigr)<\sin x<1$，由于
\[\sin\left(\arctan\frac\pi2\right)=\frac{\tan\bigl(\arctan\frac\pi2\bigr)}{\sqrt{1+\tan^2\bigl(\arctan\frac\pi2\bigr)}} =\frac{\frac\pi2}{\sqrt{1+\frac{\pi^2}4}}=\frac{\pi}{\sqrt{4+\pi^2}}>\frac\pi4,\]
故$\pi/4<\sin x<1$，于是$1<\tan(\sin x)<\tan1$，所以当$x\in[\arctan(\pi/2),\pi/2)$时，$f(x)>0$。
综上可得，当$x\in(0,\pi/2)$时，$\tan(\sin x)>\sin(\tan x)$。