[函数] 抽象函数选择题 $f(x^y)=yf(x)$

设函数 $f(x)$ 在其定义域 $(0,+\infty)$ 上的取值不恒为 0，且 $x>0,y\in\mathbb{R}$ 时，恒有 $f(x^y)=yf(x)$。$a>b>c>1$ 且 $a,b,c$ 成等差数列，则 $f(a)f(c)$ 与 $\bigl(f(b)\bigr)^2$ 的大小关系为

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令 $y=0$，则得到 $f(1)=0$，由不恒为 0，即存在 $k\ne1$ 使得 $f(k)=t\ne0$，此时作置换 $x\to k$，$y\to\log_kx$，代入得到\[f(x)=t\cdot\log_kx，\]所以可以确定 $f(x)$ 是对数函数，下略。