三次根号有理化

$a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Q}$
\begin{align*}
\frac{a+b\sqrt[3]{3}+c\sqrt[3]{9}}{d+e\sqrt[3]{3}+f\sqrt[3]{9}}&=\frac{(a+b\sqrt[3]{3}+c\sqrt[3]{9})\bigl(d^{2}+(e\sqrt[3]{3})^{2}+(f\sqrt[3]{9})^{2}-de\sqrt[3]{3}-e\sqrt[3]{3}f\sqrt[3]{9}-f\sqrt[3]{9}d\bigr)}{(d+e\sqrt[3]{3}+f\sqrt[3]{9})\bigl(d^{2}+(e\sqrt[3]{3})^{2}+(f\sqrt[3]{9})^{2}-de\sqrt[3]{3}-e\sqrt[3]{3}f\sqrt[3]{9}-f\sqrt[3]{9}d\bigr)} \\
& =\frac{(a+b\sqrt[3]{3}+c\sqrt[3]{9})\bigl(d^{2}+(e\sqrt[3]{3})^{2}+(f\sqrt[3]{9})^{2}-de\sqrt[3]{3}-e\sqrt[3]{3}f\sqrt[3]{9}-f\sqrt[3]{9}d\bigr)}{d^{3}+(e\sqrt[3]{3})^{3}+(f\sqrt[3]{9})^{3}-3de\sqrt[3]{3}f\sqrt[3]{9}} \\
& =\frac{(a+b\sqrt[3]{3}+c\sqrt[3]{9})\bigl(d^{2}+(e\sqrt[3]{3})^{2}+(f\sqrt[3]{9})^{2}-de\sqrt[3]{3}-e\sqrt[3]{3}f\sqrt[3]{9}-f\sqrt[3]{9}d\bigr)}{d^{3}+3e^{3}+9f^{9}-9def}.
\end{align*}

注意到
\[d^{2}+(e\sqrt[3]{3})^{2}+(f\sqrt[3]{9})^{2}-de\sqrt[3]{3}-e\sqrt[3]{3}f\sqrt[3]{9}-f\sqrt[3]{9}d=0\iff d=e\sqrt[3]{3}=f\sqrt[3]{9}\iff d=e=f=0,\]
所以当 $d+e\sqrt[3]{3}+f\sqrt[3]{9}\ne0$ 时必定 $d^{2}+(e\sqrt[3]{3})^{2}+(f\sqrt[3]{9})^{2}-de\sqrt[3]{3}-e\sqrt[3]{3}f\sqrt[3]{9}-f\sqrt[3]{9}d\ne0$，即以上有理化总可行。

1# kuing


嘿嘿，记得试试继续啊