[不等式] 轮换不等式

Let $a,b,c\geq 0 $ prove that:
\[ \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}+\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}\]

下面这两个不等式会有用:
\[\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{37(a^2+b^2+c^2)-19(ab+bc+ca)}{6(a+b+c)}\]
\[\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\leq \frac{10(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}{3(a+b+c)}\]

第一个没什么意思，不是pqr就是SOS...第二个也很暴力...
当然本题可能有更好的方法，懒得想了...

由$Cauchy$不等式有
\[
\begin{align*}
\left(\sum_{cyc}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\right)^2 &=\left(\sum_{cyc}{\sqrt{\frac{a^2-ab+b^2}{b}}\cdot\sqrt{b}}\right)^2\\
&\leq \sum_{cyc}{a}\cdot\sum_{cyc}{\frac{a^2-ab+b^2}{b}}\\
&=(a+b+c)\cdot(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})
\end{align*}
\]
后面的显然.