一道作业题$\int_a^bf^2(x)dx\leq\frac{(b-a)^2}2\int_a^bf'^2(x)dx$

设$f(x)$在$[a,b]$上具有一阶连续导数，且$f(a)=0$,证明：
\[ \int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}\leq \frac{(b-a)^{2}}{2}\int_{a}^{b}{f'^{2}(x)dx}\]

1# pxchg1200


hint: Cauchy-Schwarz

kuing帮忙做做啊。。

你都有 hint 了，就不是“帮”了吧

4# kuing


hint是别人给的，不是我的。我没有solution啊

设$f(x)$在$[a,b]$上具有一阶连续导数，且$f(a)=0$,证明：
\[ \int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}\leq \frac{(b-a)^{2}}{2}\int_{a}^{b}{f'^{2}(x)dx}\]

pxchg1200 发表于 2011-11-8 21:30

证明 设$x\in[a,b]$,因为
$$f(x)= \int_{a}^{x}{f'(t)dt}+f(a)=\int_{a}^{x}{f'(t)dt}$$,
由Cauchy不等式，得
$$f^2(x)= (\int_{a}^{x}{f'(t)dt})^2 \leq \int_{a}^{x}{1^2dt}\int_{a}^{x}{f'^2(t)dt}=(x-a)\int_{a}^{x}{f'^2(t)dt}\leq (x-a)\int_{a}^{b}{f'^2(t)dt}$$,
所以 $$\int_{a}^{b}{f^2(x)dx}\leq \int_{a}^{b}{(x-a)dx}\int_{a}^{b}{f'^2(t)dt}=\frac{(b-a)^{2}}{2}\int_{a}^{b}{f'^{2}(x)dx}$$.

6# 鱼儿

初看了下没问题学习中

6# 鱼儿


Nice solution!

8# pxchg1200

如果改成$f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$，就有
\[ \int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}\leq \frac{(b-a)^{2}}{8}\int_{a}^{b}{f'^{2}(x)dx}\]

How about this one?

Given $f\in C^{1}[-1,1]$ with $f(0)=0$, prove that
\[ \int_{-1}^{1}f'(x)^{2}\mathrm{d}x\geq\frac{3}{2}\left(\int_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x\right)^{2} \]

9# $\TeX$
分成 \(\displaystyle \left[a,\frac{a+b}{2}\right]\)和 \(\displaystyle \left[\frac{a+b}{2},b\right]\)两段之后再用1楼得结论.