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pxchg1200

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1^#

发表于 2011-11-8 13:13

积分题（2）（$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x$）

计算$\int_{0}^{+\infty}{\frac{\sin{x}}{x}}$

Let's solution say the method!

kuing

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2^#

发表于 2011-11-8 13:41

1# pxchg1200

漏了 dx ------ $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}x \mathrm{d}x$

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

pxchg1200

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3^#

发表于 2011-11-8 15:11

本帖最后由 pxchg1200 于 2011-11-8 15:15 编辑

2# kuing

好吧，算出来了不？（答案 $\frac{\pi}{2}$....)

Let's solution say the method!

kuing

管理员

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4^#

发表于 2011-11-8 15:23

木有……

pxchg1200

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5^#

发表于 2011-11-8 18:02

4# kuing

Hint: 补上收敛因子$e^{-kx}$再对积分号下求导。（注意考虑一致收敛。）

Let's solution say the method!

kuing

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6^#

发表于 2011-11-8 20:57

表示不懂……

pxchg1200

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7^#

发表于 2011-11-8 22:10

6# kuing

考虑积分\[ I(a)=\int_{0}^{\infty}{e^{-kx}\frac{\sin{ax}}{x}dx}
(a\geq 0 \]
对于$I(a)$在积分号下对$a$求导是可以的，由于$f(x)=e^{-kx}\frac{\sin{ax}}{x}$
满足，$\int_{0}^{\infty}{\frac{\partial f}{\partial
a}}$一致收敛。$f(x),\frac{\partial f}{\partial y}$连续.
\[ \Rightarrow
\int_{0}^{\infty}{e^{-kx}\cos{ax}dx}=\frac{k}{a^{2}+k^{2}}\]
\[ \frac{dI}{da}=\frac{k}{a^{2}+k^{2}}\]
再对$a$求积分，得到:
\[ I=\arctan{\frac{a}{k}} \]
令$k\rightarrow 0^{+} $
\[ I_{0}=\lim_{k\rightarrow
0^{+}}{\arctan{\frac{a}{k}}}=\frac{\pi}{2}\]

Let's solution say the method!

icesheep

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8^#

发表于 2011-11-10 15:59

本帖最后由 icesheep 于 2011-11-10 16:30 编辑

由 Fourier Core 及其对应的 Fourier 变换：
\[\mathfrak{F}\left( {\frac{{\sin {\omega _0}t}}{{\pi t}}} \right) = \Pi \left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}}} \right)\]
所以
\[ \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin {\omega _0}t\cos {\omega _0}t}}{{\pi t}}dt} = \Pi \left( 1 \right) = \frac{1}{2}\]
下略