[不等式] 一元高次不等式$x^7-x^6-2 x^4-x^3+4 x+2>0$（求简证）

设 $x\in\mathbb{R}^+$，求证
\[x^7-x^6-2 x^4-x^3+4 x+2>0\]

x^7-x^6-2 x^4-x^3+4 x+2=0奇次方程有实数根的嘛!

2# yes94


看清楚条件OK？

∖[x^7-x^6-2 x^4-x^3+4 x+2∖] ，弄错了，x>0.

这个反斜杠，不好打，复制你的反斜杠也不行啊，公式无法输入，
∖x^7-x^6-2 x^4-x^3+4 x+2 ∖
∖[x^7-x^6-2 x^4-x^3+4 x+2]∖

:L 难道你的键盘没有反斜杠？

记得是在英文状态下输入

不行的话就先用美元符号，不独行居中罢了

有反斜杠，但打出来是：#(英文状态)，或者是顿号、（中文状态），和3上面的那个键重复了。
$x^7-x^6-2 x^4-x^3+4 x+2$
看来美元符号行了

有办法，用双重美符号（两边各连续两个的美元符号）就相当于反斜杠那种
$$\sum\frac a{b+c}$$
这样的话你就可以不打反斜杠了
哈，我去修改一下置顶贴，补充一下这个双美元输入行间……

哎，不过公式里头也常用反斜杠啊，这样你基本上还是打不了公式。。。你的电脑也太奇怪了，竟然会将反斜杠与3上面的#重复:L

其实早前我利用软件作了个图象，然后仅用了一种命令：Factor，得到如下超难看的式：
\begin{align*}
x^7-x^6-2x^4-x^3+4x+2 & = x\left(x^4+\frac{19}{10}x^3+\frac{1363}{400}x^2+\frac{3887}{1000}x+\frac{99457}{32000}\right)\left(x-\frac{29}{20}\right)^2\\
&\mathrel{\phantom{=}}{}+\frac{1345397}{1600000}\left(x-\frac{32443337}{21526352}\right)^2+\frac{49579106704431}{551074611200000}
\end{align*}

10# kuing


不知道kuing看过arqady的方法么？

10# kuing


不知道kuing看过arqady的方法么？
pxchg1200 发表于 2011-10-4 21:34

什么方法？

后来倒是知道有个 Sturm 定理可以用上，但是想要用不等式证的

我记得arqady介绍了一个方法可以迅速判别这类型的高次不等式。以补充他的uvw方法，链接很难找。。。

14# pxchg1200


不曾见过的说。。。

即要证明$x(x^6+4-x^4-2x^3-x^2)+2>0$
而$x^6+x^6+x^6+x^6+2^3+2^3≥12x^4$即$x^6+4≥3x^4$
只要证明$x(2x^4-2x^3-x^2)+2>0$即$2x^5+2>2x^4+x^3$
又$x^5+x^5+x^5+1+1≥5x^3$即$\frac{3}{5}x^5+\frac{2}{5}≥x^3$
只要证明$\frac{7}{5}x^5+\frac{8}{5}≥2x^4$
而$x^5+x^5+x^5+x^5+2^{2.5}≥5\sqrt{2}x^4$即$\frac{8}{5\sqrt{2}}x^5+\frac{8}{5}≥2x^4$
而$\frac{8}{5\sqrt2}<\frac{7}{5}$所以原不等式成立

即要证明$x(x^6+4-x^4-2x^3-x^2)+2>0$
而$x^6+x^6+x^6+x^6+2^3+2^3≥12x^4$即$x^6+4≥3x^4$
只要证明$x(2x^4-2x^3-x^2)+2>0$即$2x^5+2>2x^4+x^3$
又$x^5+x^5+x^5+1+1≥5x^3$即$\frac{3}{5}x^5+\frac{2}{5}≥x^3$
...
realnumber 发表于 2011-10-8 14:52

第一步就错了！即要证明x(x^6+4-x^4-2x^3-x^2)+2>0
应该是即要证明x(x^6+4-x^5-2x^3-x^2)+2>0

17# hhhzh7241hzh

嗯，我差点也没发现，谢谢先。

PS，公式中尽量不要用discuz代码，容易造成公式不显示。想加颜色可以用latex里的 \color 代码，比如代码
x(x^6+4-\color{red}{x^5}-2x^3-x^2)+2>0
两边加美元符号后显示 $x(x^6+4-\color{red}{x^5}-2x^3-x^2)+2>0$

注意到：$168(x^7-x^6-2x^4-x^3+4x+2)=4(17x+9)(x^3-3)^2+15x(x^2-2)^2+x^3(2x-3)^2(25x^2+24x+12)+12$

19# tian27546

oh，配方式正确，挺好看，谢过……