[不等式] 一元条件不等式$3 - 3x^2 + x^3 >0$（已求得简证）

设实数 $x$ 满足 $x\geqslant0$ 且 $1+4x^2-4x^3\geqslant0$，求证
\[3 - 3x^2 + x^3 >0\]

本主题由 kuing 于 2013-1-19 16:13 分类

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
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①②③④⑤⑥⑦

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2^#

发表于 2011-9-29 17:09

本帖最后由 ①②③④⑤⑥⑦ 于 2011-9-29 17:10 编辑

晕，操作失误，再来一次

$0\leqslant x<1$ 时，$3-3x^2+x^3=3(1-x^2)+x^3>0$

$1\leqslant x<\dfrac{4}{3}$ 时，$3-3x^2+x^3>3+(3x-4)-3x^2+x^3=(x-1)^3\geqslant0$

$x\geqslant\dfrac{4}{3}$ 时，$1+4x^2-4x^3=(1-x^3)+x^2(4-3x)<0$

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kuing

kuing

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3^#

发表于 2011-9-29 17:25

哟，这个分类讨论，very nice 的说
嘿，谢谢啊，终于不用解三次方程了……

realnumber

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4^#

发表于 2011-10-8 14:10

本帖最后由 realnumber 于 2011-10-8 15:08 编辑

$1≥4x^3-4x^2$,$x^3+x^3+1≥3x^2$
$3+x^3=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}+x^3≥\frac{9}{4}+\frac{3}{4}(4x^3-4x^2)+x^3=\frac{1}{4}+(4x^3+2)-3x^2≥\frac{1}{4}+3x^2≥3x^2$

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kuing

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5^#

发表于 2011-10-8 22:49

4# realnumber

没看出什么问题，也very nice! 谢谢

PS，公式输入方面，大于等于用 \ge ，第二行可以用行间公式去写，这样分子就不会变小。

\[3+x^3=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}+x^3\ge\frac{9}{4}+\frac{3}{4}(4x^3-4x^2)+x^3=\frac{1}{4}+(4x^3+2)-3x^2\ge\frac{1}{4}+3x^2>3x^2\]

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