等距变换（$m=r_\theta s$）

证明：m=$r_\theta$s是一个关于过原点且与x轴交角为$\frac12\theta$的直线的反射。

不懂，，，

大概意思就是：$A$ 对 $x$ 轴反射后变成 $A'$，然后 $A'$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角变成 $A''$，又记 $x$ 轴绕原点逆时针旋转 $\theta/2$ 所成直线为 $L$，证明 $A''$ 与 $A$ 关于 $L$ 对称。

由几何图形看来是显然的，用角度加加减减即可，就是用代数那些坐标变换去写可能麻烦些

设 $A(x,y)$，则 $A'(x,-y)$，则 $A''(x\cos\theta-(-y)\sin\theta,(-y)\cos\theta+x\sin\theta)$。由于显然 $|OA|=|OA''|$ 且 $L$ 过 $O$，于是只要证明 $AA''$ 的中点在 $L$ 上（三线合一），而 $AA''$ 中点坐标为
\[\left(\frac{x+x\cos\theta-(-y)\sin\theta}2,\frac{y+(-y)\cos\theta+x\sin\theta}2\right)
= \left(\frac{x(1+\cos\theta)+y\sin\theta}2,\frac{y(1-\cos\theta)+x\sin\theta}2\right),\]
故只要证
\[\frac{y(1-\cos\theta)+x\sin\theta}2\cdot\cos\frac{\theta}2=\frac{x(1+\cos\theta)+y\sin\theta}2\cdot\sin\frac{\theta}2,\]
用两倍角公式可知上式显然成立，即得证。