在pep看到的2011全国大学生数学竞赛一道三角函数题要初等解

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贴内一楼说到

原帖由马尾于 2011-10-29 20:12 发表
今天上午刚考的一道题，应该是用条件极值做吧，我想问一下用初等方法怎们做？已知A,B,C为三角形ABC的三个角求3sinA+4sinB+18sinC的最大值

我在二楼回到

原帖由 kuing 于 2011-10-30 01:08 发表
用加权正弦和不等式，系数解解方程即可，而加权正弦和不等式只需用柯西和嵌入不等式即可证，嵌入不等式又配方可证，所以理论上，算是初等方法。时间关系，明天有空再详写写。

现详细写于此

在 $\triangle ABC$ 中，求 $3\sin A+4\sin B+18\sin C$ 的最大值。

lemma (加权正弦和不等式) 对任意实数 $x,y,z$ 及正数 $u,v,w$ 及任意 $\triangle ABC$，有
\[yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C\leqslant \left(\frac{x^2}u+\frac{y^2}v+\frac{z^2}w\right)\frac{\sqrt{vw+wu+uv}}2.\]
其中等号成立当且仅当 $x:y:z=\cos A:\cos B:\cos C$ 且 $u:v:w=\cot A:\cot B:\cot C$。

时间关系，引理的证明就不详写了，请自行查阅相关文献，比如小丛书的《几何不等式》里面就有。下面用此引理解决原题：

令 $yz=3$，$zx=4$，$xy=18$，解得一组解为
\[x=2\sqrt6,y=3\sqrt{\frac32},z=\sqrt{\frac23},\]
而对于另外一组参数 $u,v,w$ 的取值，则需要满足取等条件，为此，先求出取等时余弦值的比，由
\[2\sqrt6:3\sqrt{\frac32}:\sqrt{\frac23}=\cos A:\cos B:\cos C,\]
以及三角恒等式
\[\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1,\]
不难解出唯一一组符合条件的解为
\[\cos A = \frac34, \cos B = \frac9{16}, \cos C = \frac18,\]
由此又易得
\[\cot A:\cot B:\cot C=45:27:5,\]
于是取 $u=45$，$v=27$，$w=5$ 即可。
将以上数据代入，就得到
\[3\sin A+4\sin B+18\sin C\leqslant\frac{35 \sqrt{7}}{4},\]
当 $\cos A = \frac34$, $\cos B = \frac9{16}$, $\cos C = \frac18$ 时等号成立。

基本信息：kuing，GG，19880618~?，地道广州人，高中毕业，无业游民，不等式爱好者，论坛混混；
现状：冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做！（粤语）

pxchg1200

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2^#

发表于 2011-10-30 12:27

1# kuing

求解！这题我不会做啊！

Let's solution say the method!

kuing

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3^#

发表于 2011-10-30 13:36

2# pxchg1200

刚才写了一半吃饭去了，现在补好了

kuing

管理员

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4^#

发表于 2011-10-30 16:33

大学生解法应该是拉格朗日乘数吧，极值点最后要解方程组
\[\left\{\begin{aligned}18 \cos(A+B) + 3 \cos A &= 0,\\ 18 \cos(A+B)+ 4 \cos B &= 0,\end{aligned}\right.\]
只有一个符合条件的解 $\cos A=\dfrac34, \cos B=\dfrac9{16}$