[不等式] 来自pep兴趣小组的三角不等式$\sum1/(1+\cos^2A+\cos^2B)\leqslant2$

来自：http://bbs.pep.com.cn/thread-1946686-1-1.html

在任意 $\triangle ABC$ 中，有
\[\frac1{1+\cos^2A+\cos^2B}+\frac1{1+\cos^2B+\cos^2C}+\frac1{1+\cos^2C+\cos^2A}\leqslant2.\]

我们先证明当 $\triangle ABC$ 为直角或钝角三角形时不等式成立。不妨设 $C\geqslant90^\circ$，则
\begin{align*}
A+B\leqslant 90^\circ &\implies 0<A\leqslant 90^\circ-B<90^\circ \\
&\implies 1>\cos A \geqslant \cos(90^\circ-B)=\sin B>0\\
&\implies \cos^2A\geqslant\sin^2B>0,
\end{align*}
由此可得
\begin{align*}
LHS(原不等式左边)&\leqslant\frac1{1+\sin^2B+\cos^2B}+\frac1{1+\cos^2B}+\frac1{1+\sin^2B}\\
&=\frac12+\frac3{2+\sin^2B\cos^2B}\\
&<\frac12+\frac32=2,
\end{align*}
即此时不等式成立。
再证当 $\triangle ABC$ 为锐角三有形时不等式成立。令 $2A=\pi-D$，$2B=\pi-E$，$2C=\pi-F$，由 $A,B,C$ 为锐角知 $D,E,F\in(0,\pi)$，且三式相加易得 $D+E+F=\pi$，因此三个角 $D,E,F$ 能构成一个三角形，于是代入即知只要证如下三角形不等式
\[\frac1{4-\cos D-\cos E}+\frac1{4-\cos E-\cos F}+\frac1{4-\cos F-\cos D}\leqslant1,\]
上式采用 $s$-$R$-$r$ 化后等价为
\[(3R-r)s^2-40R^2r+13Rr^2-r^3\geqslant0,\]
由欧拉不等式 $R\geqslant2r$ 及 Gerretsen 不等式 $s^2\geqslant16Rr-5r^2$，得
\begin{align*}
(3R-r)s^2-40R^2r+13Rr^2-r^3&\geqslant(3R-r)(16Rr-5r^2)-40R^2r+13Rr^2-r^3\\
&=2r(R-2r)(4R-r)\geqslant0,
\end{align*}
即时此不等式成也立。
综上所述，原不等式成立。

1# kuing


用cauchy不等式搞掂。sinC^2=（sinAcosB+cosAsinB)^2<=(sina^2+sinB^2)(cosA^2+cosB^2)，得cosA^2+cosB^2>=sinC^2/(sinA^2+cosB^2)
以下略

2# 力工

嗯，这个证法好，不过过程打错了一点。
PS，楼上试试用Latex输入