[不等式] $a+b+c=3$轮换

Let$a,b,c>0$ with $a+b+c=3$ prove that:
\[ \frac{a}{b^{5}+1}+\frac{b}{c^{5}+1}+\frac{c}{a^{5}+1}\geq \frac{3}{2} \]

PS:今天的数学竞赛考衰了。。。 故贴个题来调整下心情。

你说的竞赛是大学生数学竞赛吗？是否跟这个贴里说的一样：http://bbs.pep.com.cn/thread-1948721-1-1.html

2# kuing


是啊，在华南理工考的。题目难死了。两个半小时基本发呆。。。。

1# pxchg1200


类似的：
\begin{align}
2)\frac{a}{b^{6}+1}+\frac{b}{c^{6}+1}+\frac{c​}{a^{6}+1}\geq \frac{3}{2}.\\
3) \frac{a}{b^{7}+1}+\frac{b}{c^{7}+1}+\frac{c​}{a^{7}+1}\geq \frac{3}{2}.\\
4) \frac{ab}{b^{3}+1}+\frac{bc}{c^{3}+1}+\frac{ca}{a^{3}+1} \geq \frac{3}{2}.\\
5) \frac{ab^{2}}{b^{3}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{3}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{3}+1}\ge​ \frac{3}{2}.\\
6) \frac{ab}{b^{4}+1}+\frac{bc}{c^{4}+1}+\frac{ca}{a^{4}+1}\geq \frac{3}{2}.\\
\end{align}
这些都简单不到哪去。。。。

4# pxchg1200

5# kuing


先说明那个柯西求反技术没用了，因为下面分母次数太高，命题变强了。。。 直接柯西上的话，运算量不是一般的大，我的电脑都死机。。。