[函数] 发几个经典的错题，权当纪念

听说5d6d就要关闭了。无比无语
发几个经典的错题，权当纪念
其实很久之前就想发这贴了，专门收集错题，不过最近孩子出生，比较忙，一拖再拖

第一题：
函数$f(x)=\ln x+ax$的图像存在与直线$2x-y=0$平行的切线，则实数$a$的取值范围是( )
$\color{red}{A.}a\leqslant2$    $\color{red}{B.}a<2$    $\color{red}{C.}a>2$    $\color{red}{D.}a>0$
原题选$\color{red}{B}$.
$\color{blue}{分析：}$由$f'(x)=\frac{1}{x}+a=2$，得$\frac{1}{x}=2-a>0$,故$a<2$.
$\color{blue}{思考1：}$导数相等，切线可能与$2x-y=0$重合？
$\color{blue}{分析：}$若$2x-y=0$恰为切线，那么切点为$(\frac{1}{2-a},\frac{2}{2-a})$，代入曲线方程，得$a=2-\frac{1}{e}$，故答案应为$a<2$且$a\ne2-\frac{1}{e}$.
$\color{blue}{思考2：}$$a=2-\frac{1}{e}$时，会否有两条切线（或多条），一条与$2x-y=0$重合，另一条平行？
$\color{blue}{分析：}$$f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$，即$f'(x)$递减，切点不同时，斜率也不同.
综合上述，正确答案为$a<2$且$a\ne2-\frac{1}{e}$.

与第一题类似的还有：（2012年福建理科卷第20题）
已知函数$f(x)=e^x+ax^2-ex$，$a\in R$.
（1）若曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线平行于$x$轴，求函数$f(x)$的单调区间；
（2）试确定$a$的取值范围，使得曲线$y=f(x)$上存在唯一的点$P$，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点$P$.
详见http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... &extra=page%3D4
第15楼

第二题：（2005年福建卷）
$f(x)$是定义在$R$上的以$3$为周期的奇函数，且$f(x)=0$在区间$(0,6)$内解的个数的最小值是( )
$\color{red}{A.}2$  $\color{red}{B.}3$  $\color{red}{C.}4$ $\color{red}{D.}5$
分析：∵$f(x)$是奇函数，以$3$为周期，$f(2)＝0$，
∴$f(0)＝0$，
$f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0$，
$f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝0$   
$f(－1)＝f(2－3)＝f(2)＝0$，
$f(1)＝－f(-1)＝0$
$f(4)＝f(1＋3)＝f(1)＝0$
而$f(1.5)＝f(1.5－3)＝f(－1.5)＝－f(1.5)$
也即$f(1.5)＝－f(1.5)$，
$f(1.5)＝0，
f(4.5)＝f(1.5＋3)＝0$
由此可见，$f(x)＝0$在区间$(0,6)$内的解有$7$个，分别是：$1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$1.5$、$4.5$
四个选项中都没有正确答案，说明出题者当时忽视了$f(4.5)＝f(1.5)＝0$也成立的情况.

第三题：
已知$0<a<1$，关于$x$的方程$a^{|x|}=|\log_ax|$的实数根的个数为( )
$\color{red}{A.}1$    $\color{red}{B.}2$    $\color{red}{C.}3$    $\color{red}{D.}4$
选$\color{red}{B}$么？看看附件的图，k作的。
实际上，当$a\in[e^{-e},1)$时，交点有2个；当$a\in(0,e^{-e})$时，交点有4个.
相关的讨论见：http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... &extra=page%3D1

第四题：（扬州市2012~2013学年度第一学期期末检测高三数学试卷）
数列$\{a_n\}$满足$a_1>1$，$a_{n+1}-1=a_n(a_n-1)$，（$n\in N^*$），且$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_{2012}}=2$，  求$a_{2013}-4a_1$的最小值.
命题人的意图可能是把条件$a_{n+1}-1=a_n(a_n-1)$倒过来然后裂项，最后也许就转化为基本不等式的环境，然而……
数列的每一项由$a_1$唯一确定，所以根据后面的等式，理论上可以将$a_1$解出来，尽管可能不止一个解，但这不会是连续的变量，是离散的一些数值，$a_{2013}$也一样，也就是说，所求的式子 $a_{2013}?4a_1$只能取若干个固定的值（极可能只有一个，感觉上），我想这肯定是出题人并未曾考虑的事情。
这里贴的是k的原话，更详细的见http://kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1095-1-10.html

原来还收集了几个，放在另一台电脑里面。不过今天整理桌面的时候居然被我删了。算了，天意如此，也懒得去恢复文件了。
希望大家接着发题

学习了，第一题，还真还真没注意过。

第二题，错得太经典了。

4# 第一章
等等...我还没反应过来...$f(2)=0$咋来的？
应该是我笨，看了很久都没看出...

9# 零定义
我也没有反应过来 ，很久没上论坛了，是因为脑子不好使了吧