[函数] 晚上人教数学群里的一道e^x*lnx不等式

学生—钻研者(5021*****)  22:52:09
求证：e^x*lnx+1/x>1/2(x>0)

求证：
\[e^x \ln x + \frac1x > \frac12 \quad(\forall x>0)\]

还真不太易证……

我的方法是去掉 e^x，后面比较麻烦，明天再写，你们先玩。

令
\[
f(x)=\ln x+e^{-x}\left(\frac 1x-\frac 12\right)\text{，}
\]
则
\[
f'(x)=\frac{e^{-x}}{2x^2}\left(2xe^x+(x-1)^2-3\right)\text{，}
\]
当$x\geqslant1$时$2xe^x+(x-1)^2-3$严格单调增，
\[
f(1)=\frac 1e>0\text{，}
\]
因此只需要考虑$0<x<1$的情况。以下设$0<x<1$，若$2xe^x+(x-1)^2-3=0$，则
\[
e^x=\frac{-x^2+2x+2}{2x}=1+\frac 1x-\frac x2\text{，}
\]
方程左边严格单调增，右边严格减，所以这个方程只有唯一解$x_0$，当$0<x<x_0$时$f(x)$严格单调减，当$x>x_0$时$f(x)$严格单调增。当$x=1$时，方程左边等于$e$，右边等于$\dfrac{3}{2}$，当$x=\dfrac{2}{3}$时，方程左边等于$e^{2/3}$（$<\dfrac{13}{6}$），右边等于$\dfrac{13}{6}$，所以$\dfrac{2}{3}<x_0<1$。此时最小值肯定在
\[
2xe^x+(x-1)^2-3=0
\]
即
\[
e^x=\frac{-x^2+2x+2}{2x}
\]
时取得，令
\[
g(x)=\ln x+\frac{2x}{-x^2+2x+2}\left(\frac 1x-\frac 12\right)\text{，}
\]
则
\[
g'(x)=\frac{(x-2)(x^2(x-3)-2(x+1))}{x(x^2-2x-2)^2}>0\text{，}
\]
即$g(x)$严格单调增，而
\[
g\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{6}{13}-\ln\frac{3}{2}>0\text{，}
\]
所以$f(x)$的最小值必定大于0，所证明成立。

2# hejoseph


倒数第三步貌似有点问题！

3# AAAAA

你意思是指分子分母反了？

之前的有错，已修改了

写一下我昨晚的证法。

由不努力不等式，当 $x\geqslant 1$ 时，$e^x=(1+e-1)^x\geqslant1+(e-1)x$ 且 $\ln x\geqslant 0$；当 $0<x<1$ 时，$e^x=(1+e-1)^x<1+(e-1)x$ 且 $\ln x<0$，故此对任意正数 $x$，都有
\[e^x\ln x\geqslant \bigl(1+(e-1)x\bigr)\ln x,\]
所以，欲证原不等式，只要证
\[\bigl(1+(e-1)x\bigr)\ln x+\frac1x>\frac12,\]
上式变形后等价于
\begin{equation}\label{20130603wanjcs}
\ln x-\frac{x-2}{2x\bigl(1+(e-1)x\bigr)}>0.
\end{equation}

（1）当 $x\geqslant 2$ 时，要证式 \eqref{20130603wanjcs} 只要证
\[f(x)=\ln x-\frac{x-2}{2x}>0,\]
求导易得 $f'(x)=1/x-1/x^2>0$，故 $f(x)>f(2)=\ln2>0$，故式 \eqref{20130603wanjcs} 成立；

（2）当 $0<x<2$ 时，要证式 \eqref{20130603wanjcs} 只要证
\[g(x)=\ln x-\frac{x-2}{2x(1+2x)}>0,\]
求导并因式分解可得
\[g'(x)=\frac{(4x+1)(x^2+x-1)}{x^2(1+2x)^2},\]
方程 $x^2+x-1=0$ 的正数解为黄金分割数 $x=\varphi=\bigl(\sqrt5-1\bigr)/2$（巧合），从而可知 $g(x)$ 在 $x=\varphi$ 取得最小值，代入化简有
\[g(\varphi)=\ln\varphi-\frac{\varphi-2}{2\varphi(1+2\varphi)}
=\ln\varphi-\frac{\varphi-2}{2\varphi+4(1-\varphi)}=\ln\varphi+\frac12,\]
因此
\[g(\varphi)>0 \iff \frac12>\ln\frac1\varphi \iff e>\frac1{\varphi^2} \iff e>\frac{\sqrt5+3}2,\]
在数值上容易验证是成立的，从而式 \eqref{20130603wanjcs} 也成立。

综上所述，式 \eqref{20130603wanjcs} 成立，原不等式得证。

看上去，都相当繁，这个应该是压轴题的最后一问，前面应该有铺垫；
其次要么就是改编的