[数列] 一个数列题

一个数列题，过程怎么弄得简短些。

1# 转化与化归

不知道酱紫弄行不行？

$a_1\times(1+q+q^2)=2013=3\times11\times61$

显然，$a_1\mid3\times11\times61,4\nmid a_1$

$q^2+q+1-\dfrac{2013}{a_1}=0$

$\Delta=1-4\times\left(1-\dfrac{2013}{a_1}\right)=3\times\left(\dfrac{4\times11\times61}{a_1}-1\right)$是一个完全平方数

所以  $\dfrac{4\times11\times67}{a_1}\equiv 1\pmod{3}$

而  $4\equiv 1\pmod{3},11\equiv 2\pmod{3},61\equiv 1\pmod{3}$

所以  $a_1=11$  或  $a_1=11\times61=671$

当$a_1=11$时，$\Delta=3^2\times9^2$，此时 $q=13$，$a_2=11\times13=143$；

当$a_1=671$时，$\Delta=3^2$，此时 $q=1$，$a_2=671\times1=671$.

好吧~不懂咋弄格式，唯有采取空一行的笨方法了...

2# 零定义
公比q是有理数啊，公比q未必是整数啊！

3# 转化与化归
有问题么？
$q$是有理数，不就是$q^2+q+1-\dfrac{2013}{a_1}=0$这个二次方程的$\Delta$是完全平方数么？
或者是我理解有问题？

4# 零定义
a1不一定能被2013整除，你解答的第二行有问题！

5# 转化与化归
噢噢~我知错了...
经程序运算，算得有三组解：(11,143,1859)，(528,660,825)，(671,671,671)...
至于如何补救，还有待思考...

这个之前我也想错了，可以这样做：
设公比为$q=\dfrac tu$，这里$t$、$u$是互素的正整数，不妨设$q\geqslant1$，则
\[
\frac{a_1}{u^2}(t^2+tu+u^2)=2013\text{，}
\]
因为$\dfrac{a_1}{u^2}$必定为整数，所以$t^2+tu+u^2$必定是2013其中一个因数，$2013=3\times11\times61$。
若$t^2+tu+u^2=3$，则$(2t+u)^2+3u^2=12$，只能$t=u=1$，此时$a_1=a_2=a_3=671$；
若$t^2+tu+u^2=11$，则$(2t+u)^2+3u^2=44$，无整数解；
若$t^2+tu+u^2=61$，则$(2t+u)^2+3u^2=44$，只能$t=5$，$u=4$，此时$a_1=528$，$a_2=660$，$a_3=825$；
若$t^2+tu+u^2=3\times11$，则$(2t+u)^2+3u^2=132$，无整数解；
若$t^2+tu+u^2=3\times61$，则$(2t+u)^2+3u^2=732$，只能$t=13$，$u=1$，此时$a_1=11$，$a_2=143$，$a_3=1859$；
若$t^2+tu+u^2=11\times61$，则$(2t+u)^2+3u^2=2684$，无整数解；
若$t^2+tu+u^2=3\times11\times61$，则$(2t+u)^2+3u^2=8052$，无整数解。

现在倒是显示公式不卡了，晕

公式太卡，搞个图片，齐老师的

(50.78 KB)

2013-6-6 00:00

9# yes94

这个图片也是何版主发的，齐是转发的，他可不会 latex

10# kuing
呵呵，原来他到处转摘解法哦！没注明出处（谁解的）

7# hejoseph
解得好！