[函数] 刚才的一段群聊记录（人教数学群）四次函数非负

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________edit in $\LaTeX$________
\begin{align*}
\frac{f(x)}{x^2}&=x^2-4x+3+m-\frac{12}x+\frac{12}{x^2} \\
& =x^2-4x+4+12\left( \frac14-\frac1x+\frac1{x^2} \right)+m-4 \\
& =(x-2)^2+12\left( \frac12-\frac1x \right)^2+m-4
\end{align*}

$p,q,r$是给定的实常数，$q\neq 0$，$f(x)=x^4+px^2+qx+r$，则
（1）$x$是方程$4t^3+2pt+q=0$中与$q$异号的一根时，$f(x)$在实域内取得最小值；
（2）$x$是任意实数时，$f(x)\geqslant 0$恒成立的充要条件是不等式$t^3+(p^2-4r)t^2-2pq^2t+q^4\leqslant0$有正数解。

厉害，又一般化了。

仅就主楼的题而，这是导数中常规题，首先参变量分享，有分母有个$x^2$，正好部分分式，搞定，正如主楼。