[函数] 恒成立

对任意的$x\in[-1,1],\abs{4{x^3}+ax^2+bx+c}\leqslant1$恒成立，则$a+b+c=?$

对任意的$x\in[-1,1],\abs{4{x^3}+ax^2+bx+c}\leqslant1$恒成立，则$a+b+c=?$
boysxh 发表于 2013-5-29 14:27

设 $f(x)=4x^3+ax^2+bx+c$，依题意有
\begin{align*}
6 &\geqslant \abs{f(1)}+\abs{f(-1)}+2\left|f\left(\frac12\right)\right|+2\left|f\left(-\frac12\right)\right|\\
& \geqslant \left|f(1)-f(-1)-2f\left(\frac12\right)+2f\left(-\frac12\right)\right|\\
& =6,
\end{align*}
故此上述所有用到的不等号应同时取等，即
\[\left\{\begin{aligned}
&\abs{f(1)}=\abs{f(-1)}=\left|f\left(\frac12\right)\right|=\left|f\left(-\frac12\right)\right|=1,\\
&f(1)f(-1)<0, \\
&f(-1)f\left(\frac12\right)>0, \\
&f\left(\frac12\right)f\left(-\frac12\right)<0,
\end{aligned}\right.\]
解得 $a=c=0$, $b=-3$。

这题也可算FAQ了，很多不等式的数都有类题，二次的
印象中都是用$|f(-1)|,|f(0)|,|f(1)|$，刚刚做了一下，没用$|f(-\frac{1}{2})|$和$|f(\frac{1}{2})|$还真弄不出来。

3# 第一章

二次的才是FAQ，三次玩得并不多，比二次复杂不少。
次数弄下去，其实又会变成切比雪夫多项式……

想到可能要±0.5什么的,就是没敢代入,怕复杂,怕做无用工.

好高深呐...
填空题的话，还是习惯用特殊值玩玩...

我也是没敢试0.5和-0.5 一直在1，-1,0里试

$\cos3x=\pm1$ 在 $[0,\pi]$ 上的解为 $k\pi/3$（$k=0$, $1$, $2$, $3$），$\cos$ 它们的值就出来四个值 $-1$, $-1/2$, $1/2$, $1$，所以就试这些。

来晚了，这菜，这菜吃过的