[不等式] 一个三元FAQ不等式的N元推广（估计早被推广过）

$a,b,c>0,abc=1$，有
\[\frac1{1+a+b}+\frac1{1+a+c}+\frac1{1+b+c}\leqslant1.\]

来自：http://bbs.pep.com.cn/thread-1936695-1-1.html

如标题所示，这题FAQ，easy且推广也一样easy，故以下估计也是早被玩腻了的事，所以请勿计较版权，这里扯这只是为个旺字。

已知 $x_i>0(i=1,2,\ldots,n),x_1x_2\ldots x_n=1$，则
\[\frac1{1+x_2+x_3+x_4+\cdots+x_n}+\frac1{1+x_1+x_3+x_4+\cdots+x_n}+\cdots+\frac1{1+x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{n-1}}\leqslant1.\]

proof: 令 $x_i=a_i^n,a_i>0,(i=1,2,\ldots,n)$，则 $a_1a_2\ldots a_n=1$，则由均值不等式，有
\begin{align*}
&\frac1{1+x_2+x_3+x_4+\cdots+x_n}+\frac1{1+x_1+x_3+x_4+\cdots+x_n}+\cdots+\frac1{1+x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{n-1}}\\
=&\frac1{1+a_2^n+a_3^n+a_4^n+\cdots+a_n^n}+\frac1{1+a_1^n+a_3^n+a_4^n+\cdots+a_n^n}+\cdots+\frac1{1+a_1^n+a_2^n+a_3^n+\cdots+a_{n-1}^n}\\
\leqslant&\frac1{1+a_2a_3a_4\ldots a_n(a_2+a_3+a_4+\cdots+a_n)}+\frac1{1+a_1a_3a_4\ldots a_n(a_1+a_3+a_4+\cdots+a_n)}\\
&+\cdots+\frac1{1+a_1a_2a_3\ldots a_{n-1}(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1})}\\
=&\frac{a_1}{a_1+(a_2+a_3+a_4+\cdots+a_n)}+\frac{a_2}{a_2+(a_1+a_3+a_4+\cdots+a_n)}\\
&+\cdots+\frac{a_n}{a_n+(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1})}\\
=&1.
\end{align*}

这个代换非常犀利

请问题目出处，具体记不得了。

3# 力工


加权推广：x>0,y>0,sigma（1+xa+yb)^-1<=3/(1+x+y),