[函数] 肯定会选C

一定的，你

题：如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O的路线做匀速运动．设运动时间为t(秒)，∠APB的度数为y(度)，则下列图象中，表示y与t之间函数关系最恰当的是(    )

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2013-5-28 02:15

这题很经典的，最早看到是2008年江苏盐城中考数学，2009年的兰州中考数学卷等等广泛被引用。

前几天看到 点在半径圆弧上运动引起的角度变化--2012黑龙江绥化（彭翕成）这篇文章，才认真思考图象，严格讲，这是道错题。

除了圆周角相等那里恒定，其余不会是线性

2# kuing


可用反正切表示吧，彭翕成弄得比较复杂。

近两年高考题有类似的

我更感兴趣的是，有没有一种速度让点在（第一段）线段上运动时，与时间是线性关系？

近两年高考题有类似的
李斌斌755 发表于 2013-5-28 02:27

哦，帖个来看看，我见到的似乎不太一样

5# isea
那你把它当问题来解呀？

这种题放在初中的确不会太容易被发现问题，因为初中较少接触复杂的东西，可以说基本上还是处于"线性头脑"，所以发现不了很正常。
但是如果放到高中论坛估计就很容易被发现问题了，因为把具体函数关系求出来也没什么难度。
而没想到的是彭大居然这个也拿来说。。。

8# kuing


显然他是显摆超级几何画板的

哈哈

7# 李斌斌755


脑袋里想了一下，线段下，应该没有，角度了，正切变了，不论速度如何，位置改变以了，so…

＝＝＝＝

有种速度叫变速，有种路程要积分

原观点错误，更新一下。

见第二页讨论。

6# isea
一时找不到，改天找找。

5# isea


与PB的平方成正比的速度，就能保证线性

其实还是不能说是错题，因为他并没说 C 是折线，他完全可以说其实两边不是直的，只不过看起来像而已

我更感兴趣的是，有没有一种速度让点在（第一段）线段上运动时，与时间是线性关系？
isea 发表于 2013-5-28 02:29

不妨设圆半径为 $1$，点 $P$ 从 $O$ 到 $C$ 所用的时间为 $1$，此段过程中，记点 $P$ 的度速 $v$ 关于时间 $t$ 的函数为 $v=v(t)$（$t\in[0,1]$），则有
\[
\cot\angle APB = OP = \int_0^t v(x)\rmd x,
\]
若 $\angle APB$ 关于时间 $t$ 为线性，应有
\[\angle APB = \frac\pi2-\frac\pi4t,\]
即
\[
\int_0^t v(x)\rmd x=\cot\left(\frac\pi2-\frac\pi4t\right),
\]
两边对 $t$ 求导就得到
\[v(t)=\frac\pi4\sec^2\frac{\pi t}4.\]

14# kuing

存在这种速度，晕啊。


果然是直线，孤陋寡闻了

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2013-5-28 21:57

不过，那个 $\angle APB = \frac\pi2-\frac\pi4t$ 理解不了，

15# isea

？？线性啊，$t=0$ 时 $\pi/2$，$t=1$ 时 $\pi/4$，于是就……

16# kuing


哎呀~嘛呀~

5# isea


与PB的平方成正比的速度，就能保证线性
wwdwwd2013 发表于 2013-5-28 14:15

能具体说说吗？

多谢。

看图

19# wwdwwd2013


不错，这个结论好看。
另外，沿着这个结论做下去也可以求出 $V$ 的具体表达式，但是不必了，其实注意到了那个角速度恒定，也就可以这样做
\[\frac{OP}{OB}=\tan\angle PBO,\]即\[OP=OB\tan(\omega t),\]
两边对 $t$ 求导即得
\[V=\omega OB\sec^2(\omega t),\]
这样更简单。