[函数] FAQ

若$0<a<b$
证明：$$a\ln a+b\ln b-(a+b)\ln \frac{a+b}{2}<(b-a)\ln2$$

跟这个 http://bbs.pep.com.cn/thread-375445-1-1.html 很像，说不定是等价的……

好像不是等价的，人教那个等价于$$aln a+bln b>(a+b)ln \frac{a+b}{2}$$
这个直接琴生

1# yayaweha


这个用主元思想，把a或b看成变量，另一个看成常数求导即可。
我觉得这个$（b-a）$像中值定理，应该能用积分证明。所以问下

那就是跟这个一样了吧 http://bbs.pep.com.cn/thread-877699-1-1.html

不过楼上贴子的解答还是前面那个，倒是这个贴 http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... 025&pid=3799311 的24#有这个的解答

和右边等价

我是想问下可不可以用积分证

积分的想不到，不在行……

倒是想到了下面这个比较无聊的另证。

为方便处理，我们记 $c=(a+b)/2$，并定义
\[g(x)=\begin{cases}
x\ln x,&x>0,\\
0,&x=0,
\end{cases}\]
利用极限易证 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。

我们将证明对任意 $0\leqslant a\leqslant b$，总有
\[g(a)+g(b)-2g(c)\leqslant (b-a)\ln2.\]

为此，我们先证明如下引理：若 $f(x)$ 在定义域 $D$ 内可导，$x_0\in D$，设
\[k(x)=\begin{cases}
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},&x\in D\setminus\{x_0\},\\
f'(x_0),&x=x_0,
\end{cases}\]
若 $f'(x)$ 为增函数，则 $k(x)$ 也为增函数。

引理的证明：由导数定义知 $k(x)$ 连续，当 $x>x_0$ 时，求导并利用拉格朗日中值定理得
\begin{align*}
k'(x)&=\frac{(x-x_0)f'(x)-\bigl(f(x)-f(x_0)\bigr)}{(x-x_0)^2} \\
& =\frac1{x-x_0}\left( f'(x)-\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \right) \\
& =\frac1{x-x_0}\bigl( f'(x)-f'(\xi ) \bigr),
\end{align*}
其中 $\xi \in (x_0,x)<x$，故由 $f'(x)$ 为增函数有 $f'(\xi )<f'(x)$，从而得到 $k'(x)>0$，同理可证当 $x<x_0$ 时也有 $k'(x)>0$，从而引理得证。

回到原题，当 $a=b$ 时原不等式显然成立，当 $0\leqslant a<b$ 时，原不等式可以整理为
\[\frac{g(b)-g(c)}{b-c}-\frac{g(a)-g(c)}{a-c}\leqslant 2\ln2,\]
现在，我们将 $c$ 固定，让 $b$ 增大，因为 $c=(a+b)/2$ 不变，故此时 $a$ 应减少。
因为 $g'(x)=1+\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，于是由引理可知，此时上式左边将增大。
于是，直到 $a$ 减少到 $0$ 时，上式左边取最大值，此时 $b=2c$，最大值为
\[\frac{g(2c)-g(c)}{2c-c}-\frac{g(0)-g(c)}{0-c},\]
化简后发现恒为 $2\ln2$，所以此时原不等式也成立。

综上所述，原不等式得证，取等条件为 $a=b$ 或 $a=0$。

其实由凸函数的性质也可以类似搞出来……时间关系明天再看看怎么写……

PS、1#   ln -> \ln  ，then $aln a$ -> $a\ln a$

这是04年高考全国卷的压轴题吧

再问一个FAQ
对任意的$x_1,x_2 \in R$有 $$|\sqrt{1+x_1^2}-\sqrt{1+x_2^2}| \le L|x_1-x_2|$$恒成立，求L得范围

12# yayaweha

这个左边分子有理化应该不难吧

有理化完了之后~~

这个左边分子有理化应该不难吧
kuing 发表于 2013-5-28 13:22

类似于《数学空间》总第 3 期 P5 中间那里

15# kuing


$$\frac{|x_1+x_2|}{\sqrt {x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}}$$这个取得到1吗？

16# yayaweha

取不到