[几何] 用三角形所在边的 向量 表示外心到顶点 （方法2楼，过程9楼，推广12楼） 向量

也来个向量，相对而言，能秒且出结果，也需要好几秒吧，哈哈

数学通迅上看到的，不满意原作者的解法，故动手自己试了，发现此题有特点，发来，大家欣赏欣赏



题：如图，$\bigodot O$为$\triangle ABC$的外接圆，$AB=2,AC=1,\angle BAC=120^\circ$.
试用$\vv{AB},\vv {AC}$表示$\vv {AO}$.

(10.3 KB)

2013-5-24 23:34

如，附件(PDF中含作图源代码，供参考）。

秒估计有点难度
不过也就是解个方程组的事
设AO=X*AB+Y*AC
然后两边同时点乘AB得出一方程
两边同时点乘AC得出一方程
联立方程组就能求出X,Y
注：上面皆为向量
还是不会打符号

2# nash


果然被秒了
这方法其实实用

\$\vv {AB}\$ 向量是 $\vv {AB}$，就这么简单

3# isea
这个有简洁的几何法吗？

见过几次，有点FAQ……不过一时没找到链接

5# kuing
想了好一阵，没想出来

2楼是最简洁的解法了吧，加上向量点积几何意义，心算都能

偶用的复数加向量，大同小异

7# isea
一碰向量就犯晕

推荐方法（解法1），即2楼具体过程，另外，加数量积几何意义可以避开复杂计算。

解析：记$O$在$AB$，$AC$上的射影分别为$O_1,O_2$，令$\vv {AO}=x \vv {AB}+y\vv {AC}$，于是
\begin{align*}
&\left\{\begin{aligned}
\vv{AO}\cdot \vv{AB}&=x \vv {AB}\cdot \vv{AB}+y \vv {AC}\cdot \vv{AB}\\
\vv{AO}\cdot \vv{AC}&=x  \vv {AB}\cdot \vv{AC}+y \vv {AC}\cdot \vv{AC}
\end{aligned}\right.\\
&\left\{\begin{aligned}
AB\cdot AO_1&=x AB^2+ y AC\cdot AB\cdot \cos120^\circ\\
AC\cdot AO_2&=x AB\cdot AC\cdot \cos120^\circ+y AC^2
\end{aligned}\right.\\
&\left\{\begin{aligned}
2&=4x-y\\
\frac 12 &=-x+y
\end{aligned}\right.\\
&\left\{\begin{aligned}
x&=\frac 56\\
y&=\frac 43
\end{aligned}\right.\\
\therefore \vv {AO}&=\frac 56 \vv {AB}+\frac 43 \vv {AC}
\end{align*}








别解：记$\angle OAB=\alpha,\angle OAC=\beta,\alpha+\beta=120^\circ$，(最后代值时，需要先用正弦定理求出AO的长度)
\begin{align}
\frac {AO}{AB}\vv{AB}&=\vv {AO}\cdot (\cos \alpha + \mathrm{i}\sin \alpha) \label{eq001}\\
\frac {AO}{AC}\vv{AC}&=\vv {AO}\cdot (\cos (-\beta) + \mathrm{i}\sin (-\beta)) \notag\\
& =\vv {AO}\cdot (\cos \beta - \mathrm{i}\sin \beta)\label{eq002}
\end{align}


在(\ref{eq001})式两边同乘$\sin \beta$
\begin{align}
\frac {AO}{AB}\vv{AB}\sin \beta&=\vv {AO}\cdot (\cos \alpha \sin \beta + \mathrm{i}\sin \alpha \sin \beta)\label{eq003}
\end{align}


类似的由(\ref{eq002})可得
\begin{align}
\frac {AO}{AC}\vv{AC}\sin \alpha&=\vv {AO}\cdot (\sin \alpha \cos \beta - \mathrm{i}\sin \alpha \sin \beta)\label{eq004}
\end{align}


(\ref{eq003})+(\ref{eq004})
\begin{align}
\frac {AO}{AC}\vv{AC}\sin \alpha+\frac {AO}{AB}\vv{AB}\sin \beta&=\vv {AO}\cdot (\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta)\notag\\
&=\vv {AO} \cdot \sin (\alpha+\beta)\label{eq005}
\end{align}


将相应的数据代入(\ref{eq005})并整理就得到此题的结果：$\vv {AO}=\dfrac 56 \vv {AB}+\dfrac 43 \vv {AC}$.

若将(\ref{eq005})式变形为
\begin{align*}
\dfrac {\vv {AC}}{AC} \sin \alpha+\dfrac {\vv {AB}} {AB} \sin \beta&=\dfrac{\vv {AO}} {AO} \cdot \sin (\alpha+\beta)
\end{align*}


多么美好的式子！

坐标法（解法2），如楼上的图，以A为原点，以AB（或者AC）为x轴建议直角坐标系，

待定系数：$\vv {AO}=x \vv {AB}+ y \vv {AC}$，下略

解法3，正余弦定理上台即可。

不打字了，自己看看百度知道





别解，向量+旋转（即复数几何意义），这个有点变态，属于个人偏好，不推荐。

合并到9楼了

而此题更一般的结论是什么呢？

这也跟以前的老题有关的，向量什么面积之类的。

http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... d=289872&page=1
http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2570800
http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... d=540072&page=1
http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... d=277670&page=1 （注意第43楼）
http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... d=277949&page=1
http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... d=404407&page=1


如果你不愿意细看那些零散的东西，那其结论就是（来自 绕来绕去的向量法，75-76页）

点O是三角形内一点，则$S_{AOB} \vv{OC}+S_{BOC} \vv{OA}+S_{COA} \vv{OB}=\vv 0$。
（这公式其实不用记，具体到具体的题目，在具体的环境下，一般只需要求线段比值即可，如果利用一下向量的叉乘，又会简单许多。

12# isea

这个问题我叫它“超级FAQ”……

我只想用初中知识解

14# 李斌斌755


涉及向量数量积，要用初中知识那就要改题，改为

题：如图，$\bigodot O$为$\triangle ABC$的外接圆，$AB=2,AC=1,\angle BAC=120^\circ$.
设$AO$与$BC$交于$D$，求
(1)$\dfrac {AD}{AO}$；(主楼的解法5，先得$\vv {AD}$)
(2)$\dfrac {BD}{DC}$.(主要是这个）

15# isea
感觉也不好作，似乎还得求半径。

16# 李斌斌755


求肯定可以，不必未必不行，毕竟是向量题啊

我说9楼最后的形式美，主要是因为和 张角公式 特别的像