一道台高中题，多项式（from 人教数学群）

题目：求首项系数为 $2$，且满足 $4f(1)=3f(2)=2f(3)=f(4)$ 的三次多项式 $f(x)$。

以下是部分群聊记录

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2013-5-24 22:43

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2013-5-24 22:43

爱好者-何万程(1785***)  23:19:42
抽空写了下
f(x)=2x^3+bx^2+cx+d
4f(1)=8+4b+4c+4d
3f(2)=48+12b+6c+3d
2f(3)=108+18b+6c+2d
f(4)=128+16b+4c+d
4f(1)-3f(2)=-40-8b-2c+d=0
3f(2)-2f(3)=-60-6b+d=0
2f(3)-f(4)=-20+2b+2c+d=0
-40-8b-2c+d-(-60-6b+d)-20+2b+2c+d=d=0
-60-6b=0=>b=-10
-20-20+2c=0=>c=20

我用拉格朗 ri cha 值公式是这样的：

设 $g(x)=f(x)(5-x)$，则由条件可设 $g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=t$，又 $g(5)=0$，故由拉格朗 ri cha 值公式，$g(x)$ 可以写为
\begin{align*}
g(x)={}&\frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)}t+\frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}t \\
& +\frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)}t+\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)}t \\
={}&\frac{t(x-5)}{4!}[(x-2)(x-3)(x-4)-4(x-1)(x-3)(x-4) \\
& +6(x-1)(x-2)(x-4)-4(x-1)(x-2)(x-3)] \\
={}&\frac{t(x-5)}{4!}(-x^3+5x^2-10x),
\end{align*}
于是 $f(x)=2x^3-10x^2+20x$。

还是不知道用差分是什么意思……

若有数列$\{a_n\}$，则令$d_n=a_{n+1}-a_n$，则$\{d_n\}$称为$\{a_n\}$的一阶差分数列，简称差分数列，记为$\Delta\{a_n\}$。
数列$\{a_n\}$的$k$阶差分数列$\Delta^k\{a_n\}$定义为$\Delta\left\{\Delta^{k-1}\{a_n\}\right\}$，$\{a_n\}$的零阶差分数列定义为$\{a_n\}$。
$k$阶差分数列的通项公式为
\[
\sum_{i=0}^k(-1)^kC_k^ia_{n+k-i} \text{。}
\]
若$a_n$是关于$n$的$m$次多项式，首项系数为$a$，则$\Delta^m\{a_n\}$是个常数数列$\{m!a\}$。

若$\{a_n\}$的各阶差分数列的首项按差分次数（零开始）由小到达排列成数列$\{d_{n+1}\}$，则
\begin{align*}
a_n&=\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^id_i\text{，}\\
S_n&=\sum_{i=1}^nC_n^id_i\text{。}
\end{align*}

不懂得如何差分运算，贴一个麻烦的差分...
设$f(x)=2x^3+bx^2+cx+d$，则$f^{(3)}(x)=12$
令 $f(1)=3k,f(2)=4k,f(3)=6k,f(4)=12k$
则 $\Delta f(1)=f(2)-f(1)=k,\Delta f(2)=f(3)-f(2)=2k,\Delta f(3)=f(4)-f(3)=6k$；
     $\Delta^2f(1)=\Delta f(2)-\Delta f(1)=k,\Delta^2f(2)=\Delta f(3)-\Delta f(2)=4k$；
     $\Delta^3f(1)=\Delta^2f(2)-\Delta^2f(1)=3k=f^{(3)}(x)=12$.
所以 $k=4$
所以 $f(2)-f(1)=15+3b+c=k=4,f(3)-f(2)=38+5b+c=2k=8$
解得 $b=-10,c=20$
所以 $f(1)=2+b+c+d=3k=12$
解得 $d=0$
所以 $f(x)=2x^3-10x^2+20x$

6# 零定义

呃，这样看上去好像还不如直接解方程组……

7# kuing
应该是我不懂运算罢了...

令$f(x)=2x^3+bx^2+cx+d$，$4f(1)=3f(2)=2f(3)=f(4)=12t$，代入$f(4)-3f(3)+3f(2)-f(1)=3!\times 2=12$求得$t=4$，接着求得$f(1)=12$，$f(2)=16$，$f(3)=24$，$f(4)=48$，再由$f(3)-3f(2)+3f(1)-f(0)=12$得$f(0)=0$，即$d=0$，由$f(2)-3f(1)+3f(0)-f(-1)=12$得$f(-1)=-32$，结合$f(1)=12$即得$b+c=10$，$b-c=-30$，即$b=-10$，$c=20$，所以$f(x)=2x^2-10x^2+20x$。

这题好玩，偶绝对直接硬算

差分数列一个重要应用就在于通项为变量的多项式的数列求和，例如$\{a_n\}=\{n^4\}$，$a_1=1$，一至四阶差分首项分别为15、50、60、24，所以
\[
S_n=C_n^1+15C_n^2+50C_n^3+60C_n^4+24C_n^5=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
\]

我用拉格朗 ri cha 值公式是这样的：

设 $g(x)=f(x)(5-x)$，则由条件可设 $g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=t$，又 $g(5)=0$，故由拉格朗 ri cha 值公式，$g(x)$ 可以写为
\begin{align*}
g(x)={}&\frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x ...
kuing 发表于 2013-5-24 22:47

直接写
$(5-x)f(x)-t=-2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$，令$x=5$

12# 呆呆

噢，这样直接求出 $t$，马上得到 f……nice! 这样简单多了！

12# 呆呆

妙!

14# hongxian

是啊，的确很妙，我来到了边上都没发现这个玩法，受到了第一感觉拉格想到的朗 ri cha 插的影响了……